Eisensteinreihe

Eisensteinreihen zum Gitter $\Omega$ sind unendliche Reihen der Form $G_{k}(\Omega ):=\sum _{0\not =\omega \in \Omega }\omega ^{-k}$.

Die Reihen sind absolut konvergent für $k\geq 3$, für k ungerade ist $G_{k}(\Omega )=0$. Die Eisensteinreihen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen.

Eigenschaften

Bei der Untersuchung der Eisensteinreihen kann man sich auf Gitter der Form $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau$ mit $\tau \in \mathbb {H} ={\mathcal {f}}z\in \mathbb {C} ;Imz>0{\mathcal {g}}$ beschränken, da für eine Basis $(\omega _{1},\omega _{2})$ von $\Omega$ gilt:

$G_{k}(\Omega )=G_{k}(\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{2}^{-k}G_{k}({\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}},1)$

und die Basis jedenfalls so gewählt werden kann, dass ${\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}\in \mathbb {H}$. Damit hat man

$G_{k}(\tau ):=G_{k}(\tau ,1)=\sum _{(0,0)\not =(m,n)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }{\frac {1}{(m\tau +n)^{k}}}$.

Für $k\geq 8$ sind die $G_{k}$ Polynome mit rationalen Koeffizienten in $G_{4}$ und $G_{6}$, d.h. $G_{k}\in \mathbb {Q} [G_{4},G_{6}]$, es gilt die Rekursionsformel:

$(n-3)(2n+1)(2n-1)G_{2n}=3\sum _{p=2}^{n-2}(2p-1)(2n-2p-1)G_{2p}G_{2n-2p}$

Speziell für n=4 erhält man hieraus $7G_{8}=3G_{4}^{2}$ und durch einen Koeffizientenvergleich der Fourierentwicklungen (s.u.) die bemerkenswerte zahlentheoretische Identität (Hurwitz-Identität):

$\sigma _{7}(m)=\sigma _{3}(m)+120\sum _{r,s\in \mathbb {N} ,r+s=m}\sigma _{3}(r)\sigma _{3}(s)$, dabei ist $\sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k}$ die Summe der k-ten Potenzen der Teiler von n.

Fourierentwicklung

Die Eisensteinreihen haben eine Fourierentwicklung

$G_{k}(\tau )=2\zeta (k)+2{\frac {(2\pi i)^{k}}{(k-1)!}}\sum _{m=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(m)e^{2\pi im\tau }$, dabei ist

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}$ die Riemannsche Zetafunktion.