Keplersche Fassregel

Die Keplersche Fassregel (nach Johannes Kepler) ist eine Methode zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Der Magistrat der Stadt Ulm, wo die Rudolfinischen Tafeln gedruckt wurden, beauftragte Kepler, neue Maßeinheiten für die Stadt festzulegen. Solche praktischen Probleme des Handels hatte er schon mehrfach zuvor mathematisch gelöst. Unter anderem beschrieb er in der Nova Stereometria doliorum vinariorum von 1615 eine Methode zur Berechnung der Kapazität von Weinfässern mit unregelmäßigen Formen:

Ist f(x) die Parabel durch die drei Punkte:

${\Big (}a;f(a){\Big )},\;{\Big (}b;f(b){\Big )},\;{\Big (}{\frac {a+b}{2}};f{\big (}{\frac {a+b}{2}}{\big )}{\Big )}$

so ist die Fläche unter der Parabel gegeben durch:

$A={\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\!\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)$

und berechnet eine Näherung für

$I=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

Beispiele:

Kreisfläche: $A_{Kreis}={\frac {2R}{6}}\cdot (0+4\cdot 2R+0)={\frac {8R^{2}}{3}}=2.67\cdot R^{2}$ Datei:Fassregel1.gif

Die Kreisfläche wird zu klein berechnet, weil der Halbkreis durch eine Parabel angenähert wird; der genaue Wert ist $3.14\cdot R^{2}$. Es wäre hier besser, die Simpsonregel zu verwenden.

Fläche unter der Sinuskurve $f(x)=sin(x)$ von 0 bis $\pi$

$A_{Sinuskurve}={\frac {\pi }{6}}\cdot (0+4\cdot 1+0)={\frac {4\cdot \pi }{6}}={\frac {2\cdot \pi }{3}}=2.09$

$I=\int _{0}^{1}(sin(x))\,\mathrm {d} x=2$

Datei:Fassregel2.gif

Der genaue Wert des Flächeninhalts ist 2 Flächeneinheiten. Die Näherung ist recht gut.

Fläche unter der Parabel $f(x)=-x^{2}+1$

$A_{Parabel}={\frac {2}{6}}\cdot (0+4\cdot 1+0)={\frac {4}{3}}=1.33$

$I=\int _{-1}^{1}(-x^{2}+1)\,\mathrm {d} x=1.33$

Die Fläche wird mit der Fassregel richtig berechnet.

Datei:Fassregel3.gif

Der Name Fassregel lässt sich durch die folgende Anwendung motivieren: Zur Berechnung des Volumens eines Weinfasses sei $q(x)$ die Querschnittsfläche quer zur Längsachse in der Entfernung $x$ vom Boden des Fasses; sie lässt sich durch Bestimmung des Umfanges leicht ausrechnen. Ist $h$ die Höhe des Fasses, so ist das Volumen gleich

$V=\int _{0}^{h}q(x)\,\mathrm {d} x.$

Die Keplersche Fassregel gibt nun

$V={\frac {h}{6}}\cdot (q(0)+4q(h/2)+q(h))$

als Näherungswert für das Volumen eines Fasses, dessen Querschnitt an drei Stellen bekannt ist.

Die Formel gibt das richtige Volumen für:

Kegel

$q(0)=0;q({\frac {h}{2}})={\frac {1}{4}}\cdot q(h);q(h)=R^{2}\pi$

$V_{Kegel}={\frac {h}{6}}\cdot (0+{\frac {4}{4}}\pi R^{2}+\pi R^{2})={\frac {h}{6}}\cdot (2\pi R^{2})={\frac {1}{3}}\cdot \pi R^{2}h$

Kegelstumpf

$q(0)=r^{2}\pi ;q({\frac {h}{2}})=({\frac {r+R}{2}})^{2}\cdot \pi ;q(h)=R^{2}\pi$ $V_{Kegelstumpf}={\frac {h}{6}}\cdot [r^{2}\pi +4\pi ({\frac {r+R}{2}})^{2}+\pi R^{2}]={\frac {h}{6}}\cdot [\pi r^{2}+{\frac {4}{4}}\pi \cdot (r^{2}+2rR+R^{2})+R^{2}]$ $={\frac {h}{6}}\pi \cdot [r^{2}+r^{2}+2rR+R^{2}+R^{2}]$ $={\frac {h}{6}}\pi \cdot [2r^{2}+2rR+2R^{2}]$ $={\frac {h}{3}}\pi \cdot [r^{2}+rR+R^{2}]$

Kugel

$q(0)=0;q({\frac {h}{2}})=R^{2}\pi ;q(h)=0;h=2R$

$V_{Kugel}={\frac {2R}{6}}\cdot (0+4\cdot \pi R^{2}+0)={\frac {2R}{6}}\cdot (4\pi R^{2})={\frac {4}{3}}\cdot \pi R^{3}$

Zylinder

$q(0)=R^{2}\pi ;q({\frac {h}{2}})=R^{2}\pi ;q(h)=R^{2}\pi$

$V_{Zylinder}={\frac {h}{6}}\cdot (\pi R^{2}+4\cdot \pi R^{2}+\pi R^{2})={\frac {h}{6}}\cdot (6\pi R^{2})={\frac {6h}{6}}\cdot \pi R^{2}=\pi R^{2}h$

Rotationsparaboloid

$q(0)=0;q({\frac {h}{2}})={\frac {1}{2}}R^{2}\pi ;q(h)=R^{2}\pi$

$V_{Paraboloid}={\frac {h}{6}}\cdot (0+{\frac {4}{2}}\cdot \pi R^{2}+\pi R^{2})={\frac {h}{6}}\cdot (3\pi R^{2})={\frac {h}{6}}\cdot 3\pi R^{2}={\frac {1}{2}}\pi R^{2}h$

Fass

Mathem. Definition:

Ein Rotationskörper, gebildet aus einer Mantelfläche, deren Erzeugende ein Kreisbogen ist, dessen Endpunkte den gleichen Abstand von der Rotationsachse haben, und zwei kongruenten Kreisflächen. Dazu gehört z.B. auch die symetrische Kugelzone.

$q(0)=r^{2}\pi ;q({\frac {h}{2}})=R^{2}\pi ;q(h)=r^{2}\pi$

$V_{Fass}={\frac {h}{6}}\cdot (r^{2}\pi +4\cdot \pi R^{2}+\pi r^{2})={\frac {h}{6}}\cdot (2\pi r^{2}+4R^{2}\pi )$

Ist $u$ der Umfang von Boden und Deckel und $U$ der Umfang in der Mitte des Fasses, so ergibt sich daraus die Näherungsformel:

${\frac {h}{6}}\cdot [2\pi ({\frac {u}{2\pi }})^{2}+4({\frac {U}{2\pi }})^{2}\pi ]$ $={\frac {h}{6}}\cdot [2\pi {\frac {u^{2}}{4\pi ^{2}}}+4{\frac {U^{2}}{4\pi ^{2}}}\pi ]$

$={\frac {h}{12\pi }}[u^{2}+2U^{2}].$

Siehe auch: Simpsonsche Formel, Newton-Cotes-Formeln