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Satz von Stewart

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Der Satz von Stewart ist ein Satz der euklidischen Geometrie, der bei der Beschreibung der Geometrie eines Dreiecks verwendet wird. Mit ihm lässt sich die Länge einer Strecke durch die Ecke eines Dreiecks zur ihr gegenüberliegenden Seite berechnen. Er wurde 1746 vom schottischen Mathematiker Matthew Stewart aufgestellt (obwohl er vermutlich schon Archimedes bekannt war).

Definition

Konstruktion zum Satz von Stewart

Gegeben sei ein Dreieck (siehe Bild) mit den definierenden Eckpunkten A, B und C und den Seitenlängen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle a=\overline{CB}} ; Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle b=\overline{AC}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle c=\overline{AB}} .

Weiter sei M ein Punkt auf der Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \overline{AB}} mit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x=\overline{AM}} ; Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle y=\overline{MB}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle c=x+y\,} .

Der Satz von Stewart besagt dann:

(*) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle xa^2 + yb^2 = \left(x+y\right)\overline{CM}^2 +xy^2+yx^2 = c \left(\overline{CM}^2 + xy\right)}

Wird der Bruchteil Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\overline{AB}}} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \phi\,} bezeichnet, dann gilt (mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \phi^\prime=1-\phi} )

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x=\phi c\,} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle y=\phi^\prime c} ,

und der Satz lässt sich auch folgendermaßen formulieren:

(**) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \overline{CM}^2=a^2 \phi + b^2 \phi^\prime - c^2\phi\phi^\prime}


Anwendungen

Der wichtige Satz des Heron zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks aus seinen Seitenlängen folgt direkt aus dem Satz von Stewart. Der Satz von Stewart wurde auch vom niederländischen Mathematiker Oene Bottema für die Anwendung auf Simplexen und Tetraedern verallgemeinert.


Der Satz von Stewart umfasst auch den Pythagoreischen Lehrsatz. In dem Sonderfall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle a=b} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x=y } besagt er nämlich:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle a^2 = \overline{CM}^2 + x^2 }

und damit:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \overline{CB}^2 = \overline{CM}^2 + \overline{MB}^2 }

Diese Situation lässt sich zu einem gegebenen rechtwinkligen Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle CMB} mit rechtem Winkel bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle M} stets dadurch erzeugen, dass man es an der Kathetengerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle CM } spiegelt, wodurch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle B} zu Spiegelpunkten und das Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle ABC} ein gleichschenkliges wird.


Beweis des Satzes

Man darf ohne oBdA annehmen, dass das Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle ABC} (siehe Bild) eine geometrische Figur der komplexen Zahlenebene darstellt[1] und dabei in Sonderheit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle A = 0} ist, die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle AB=AM=MB} mit der reellen Achse Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \R \subset \C} zusammenfällt und zugleich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle C \in \H} gilt, also der Eckpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle C } in der oberen Halbebene liegt. Andernfalls kann man diese Situation durch Anwendung geeignet gewählter ebene Kongruenzabbildungen stets schaffen.

Damit lassen sich dann in drei Schritten die folgenden Kalkulationen anstellen[2].

(I) Grundgleichungen

Es bestehen unter Benutzung der komplexen Betragsfunktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle z \mapsto |z| = \sqrt{z \cdot \overline z} } die folgenden Grundgleichungen (vgl. Bild):

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle A = 0}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \overline{AC} = |C| = b}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle M = \overline{AM} = x }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \overline{MB} = |M - B| = y }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle B = \overline{AB} = \overline{AM} + \overline{MB} = x + y = c }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \overline{BC} = |B - C| = |C - (x + y)| = a}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \overline{CM} = |C - x|}

(II) Abgeleitete Gleichungen

Aus (I) ergibt sich zunächst :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \overline{CM}^2 = |C - x|^2 = (C - x) \cdot \overline {(C - x)}}

und weiter unter Benutzung der Realteilfunktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle z \mapsto \Re (z)} und unter Beachtung der Tatsache, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x = \overline{x} \in \R} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle y = \overline{y} \in \R} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle a^2 = |(C - x) - y|^2 = ((C - x) - y) \cdot \overline {((C - x) - y)} = |C - x|^2 + y^2 - 2 \cdot y \cdot \Re (C - x) = {\overline{CM} }^2 + y^2 - 2 \cdot y \cdot \Re (C - x)}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle b^2 = |C|^2 = C \cdot \overline {C} = (C - x + x) \cdot \overline {((C - x) + x)} = |C - x|^2 + x^2 + 2 \cdot x \cdot \Re (C - x) = {\overline{CM} }^2 + x^2 + 2 \cdot x \cdot \Re (C - x)}


Man multipliziert in der vorletzten Gleichung links und rechts mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x } , in der letzten Gleichung links und rechts mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle y } , bildet die Summe der jeweiligen linken und der rechten Terme und erhält, da sich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot x \cdot y \cdot \Re (C - x)} weghebt, die folgende Summendarstellung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x \cdot a^2 + y \cdot b^2 = x \cdot ({\overline{CM} }^2 + y^2) + y \cdot ({\overline{CM} }^2 + x^2 )}

(III) Schlussgleichungen

Aus (II) folgt mittels Ausmultiplizieren und Vertauschung der Terme und nach Ausklammern:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x \cdot a^2 + y \cdot b^2 = {\overline{CM} }^2 \cdot (x + y) + x \cdot y \cdot (x + y)}

und schließlich wegen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle c = x + y} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x \cdot a^2 + y \cdot b^2 = c \cdot ( {\overline{CM} }^2 + x \cdot y)}

und damit die oben behauptete Identität (*).


Literatur

  • Altshiller-Court, N. Stewart's Theorem., in College Geometry: A Second Course in Plane Geometry for Colleges and Normal Schools, 2nd ed., Barnes and Noble, 1952
  • Bottema, O. Eine Erweiterung der Stewartschen Formel., In Elemente der Mathematik. 34/1979, S. 138-140, (ISSN 0013-6018)
  • Bottema, O. De formule van Stewart voor een viervlak., In Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde., 68/1980-81, S. 79-83,
  • Coxeter H.S., Greitzer, S.L. Zeitlose Geometrie, Klett, 1983, ISBN 3129833900
  • György Hajós: Einführung in die Geometrie. (BEVEZETÉS A GEOMETRIÁBA. Deutsche Übersetzung und Redaktion: DR. G. EISENREICH (Leipzig)). B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1970.
  • Helmut Karzel / Hans-Joachim Kroll: Geschichte der Geometrie seit Hilbert. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988, ISBN 3-534-08524-8.

Einzelnachweise

  1. ↑ Karzel / Kroll: S. 96.
  2. ↑ In Anlehnung an Hajós: Einführung in die Geometrie. S. 384., wo der Beweis allerdings rein vektoriell ohne Benutzung komplexer Zahlen geführt wird.
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