Mehrzieloptimierung
Paretooptimierung
Viele Optimierungsprobleme sind multikriteriell: Es lassen sich mehrere, voneinander grundsätzlich unabhängige Zielsetzungen definieren, z.B. bei Kraftmaschinen der Wirkungsgrad, die maximale Leistung eines Aggregats und der Schadstoffausstoß. Das übliche Vorgehen ist, die interessierenden Ziele als Teilziele aufzufassen und sie mittels Wichtungsfaktoren zu einer gemeinsamen und hierdurch monokriteriellen Funktion zu aggregieren.
Bei nicht in einander umrechenbaren Zielgrößen, wie etwa im gegebenen Beispiel, sind die anzusetzenden Wichtungsfaktoren subjektiv. Hierdurch ergibt sich auch eine entsprechende Willkürlichkeit bei der Identifikation der gesuchten "besten" Lösung des Optimierungsproblems.
Eine sinnvollere Vorgehensweise ist in solchen Fällen die separate, aber gleichzeitige Verfolgung aller Teilziele in einem gemeinsamen Optimierungskontext. Hierbei wird es in der Regel nicht zu einer einzelnen besten Lösung kommen, da in letzter Konsequenz fast alle Zielkriterien mit einander in Konflikt stehen. Vielmehr muss als letztes objektiv erreichbares Ergebnis die Menge von Lösungen des Optimierungsproblems gesucht werden, bei der eine Verbesserung eines Zielfunktionswertes nur noch durch Verschlechterung eines anderen erreicht werden kann. Diese Lösungsmenge bezeichnet man als Pareto-Menge des zugrunde liegenden Paretooptimierungsproblems.
Ist die Paretomenge des gegebenen Optimierungsproblems erst einmal gefunden, können subjektive Einschätzungen über die Wichtigkeit der einzelnen Teilziele angegeben werden. Die Paretomenge enthält dann für beliebige relative Teilzielwichtungen jeweils mindestens einen Lösungsvorschlag, der diese Wichtungsverteilung optimal erfüllt.
Dimension und Visualisierung
Bei einem Optimierungsproblem mit n Zielen wird die Paretomenge eine n-1-dimensionale Hyper-Grenzfläche darstellen. Die Paretomenge eines zwei-kriteriellen Problems (z.B. Leistung vs. Wirkungsgrad einer Kraftmaschine) wird also eine streng monoton fallende, nicht notwendigerweise stetige Grenzlinie in einem Leistungs-Wirkungsgrad-Diagramm darstellen.
Spätestens bei vierdimensionalen Problemen hört jegliche direkte Visualisierungsmöglichkeit auf. Stattdessen muss der Lösungsraum durch Hilfsmittel wie etwa dem Sterndiagramm interaktiv ertastet werden.
