Killing-Vektorfeld

Ein Killing-Vektorfeld (benannt nach dem deutschen Mathematiker Wilhelm Killing) ist ein Vektorfeld auf einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit, das die Metrik erhält. Killing-Vektorfelder sind die infinitesimalen Generatoren von Isometrien (siehe auch Lie-Gruppe).

Entsprechendes gilt für pseudo-Riemann'sche Mannigfaltigkeiten, z. B. in der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Erklärung

Ein Vektorfeld X ist ein Killing-Vektorfeld, wenn die Lie-Ableitung der Metrik g bezüglich X verschwindet:

${\mathcal {L}}_{X}g=0.\,$

Mit Hilfe des Levi-Civita-Zusammenhangs bedeutet dies punktweise

$g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0$

für alle Vektoren Y und Z, beziehungsweise dass $\nabla _{\bullet }X$ ein bezüglich $g$ schiefer Endomorphismus auf dem Tangentialraum ist.

In lokalen Koordinaten führt dies zur sogenannten Killing-Gleichung

$\nabla _{i}X_{j}+\nabla _{j}X_{i}=0.$

Ein Killing-Feld ist eindeutig bestimmt durch einen Vektor an einem Punkt und seinen kovarianten Gradienten auf der ganzen Raumzeit.

Ein Vektorfeld ist genau dann ein Killing-Vektorfeld, wenn es entlang jeder Geodätischen ein Jacobi-Vektorfeld ist.

Erhaltungsgrößen

Da Killing-Vektorfelder Isometrien generieren, gibt es in der Physik zu jedem Killing-Vektorfeld eine Erhaltungsgröße der entsprechenden Raumzeit. In der Allgemeinen Relativitätstheorie sind Killing-Vektorfelder daher von großer Bedeutung bei der Charakterisierung von Lösungen der Einstein'schen Feldgleichungen. Die Erhaltungsgröße QX zu einem Killing-Vektorfeld X berechnet sich dabei als

$QX=\int \mathrm {d} ^{3}x{\sqrt {|g|}}\,T_{0\mu }X^{\mu }$

wobei T der Energie-Impuls-Tensor und |g| der Betrag der 4x4-Determinante des metrischen Tensors ist . In der Formel wurde Einsteins Summenkonvention verwendet.

(Die Raumzeit selbst ist eine vierdimensionale pseudo-Riemann'sche Mannigfaltigkeit mit einer Zeitkoordinate x⁰ („obere Indizes“) und drei Raumkoordinaten x¹, x² und x³ , mit gemischter Signatur, z. B. entsprechend dem Schema (-,+,+,+). Das Killing-Vektorfeld hat ebenfalls vier Komponenten; die g-Matrix („4x4“) hat z. B. einen negativen und drei positive Eigenwerte. Die Lorentz-Transformationen im flachen pseudo-Riemann'schen Minkowskiraum können als Pseudo-Drehungen aufgefasst werden und haben als Determinante den Wert Eins. Die Ergebnisse gelten aber auch in nicht-flachen Räumen.)

Integrationbereiche und Kausalität

Die Frage des Integrationsbereichs in Formeln der obigen Art ist u.a. deshalb diffizil - nicht zufällig fehlen oben genaue Angaben - , weil man i.A. die Begrenztheit der ursächlich in Frage kommenden Raumbereiche (siehe Ursache und Wirkung oder Kausalstruktur) sowie den zeitlichen Vorlauf („Retardation“) der Ursachen berücksichtigen und bei allen Größen i.A. die jeweiligen Argumente explizit angeben muss. Auch das ist oben absichtlich nicht der Fall.

In der Tat ist bei obiger Formel der Integrationsbereich der räumlichen Koordinaten der volle $\mathbb {R} ^{3},$ unter der Voraussetzung, dass Ursache und Wirkung zeitlich unendlich weit auseinander liegen. Man kann aber statt des $\mathbb {R} ^{3}$ eine beliebige dreidimensionale Hyperfläche wählen, die kausal ähnlich strukturiert ist. Das bedeutet zugleich, dass die Formel nicht für Schwarze Löcher gilt.

Beispiele

Genau dann wenn die Koeffizienten $g_{\mu \nu }$ der Metrik $g$ in der Basis $dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }$ unabhängig von einer lokalen Koordinate $x^{k}$ sind, ist $X={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}$ ein Killing-Vektorfeld. In ebendiesen lokalen Koordinaten lautet es dann $X_{\mu }=\delta _{\mu }^{k}$, wobei $\delta _{\mu }^{k}$ das Kroneckerdelta ist.

Ein Satz unabhängiger Killing-Vektorfelder der Einheitssphäre $S^{2}$ mit der induzierten Metrik $\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}(\theta )\mathrm {d} \phi ^{2}$ in Kugelkoordinaten sind:

$K^{(x)}=-z\partial _{y}+y\partial _{z}=-\sin(\phi )\partial _{\theta }-\cot(\theta )\cos(\phi )\partial _{\phi }$

$K^{(y)}=-x\partial _{z}+z\partial _{x}=\cos(\phi )\partial _{\theta }-\cot(\theta )\sin(\phi )\partial _{\phi }$

$K^{(z)}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}=\partial _{\phi }$

Alle Linearkombinationen dieser Vektorfelder stellen wieder Killing-Vektorfelder dar. Die induzierten Isometrien sind genau die Elemente der $\mathrm {SO} (3)$.

Literatur

• Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology. John Wiley & sons, New York 1972, ISBN 0-471-92567-5. 
• Jürgen Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2. 
• Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem: Introduction to General Relativity. 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1975, ISBN 0-07-000423-4 (siehe Kapitel 2 und 9). 
• Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman and Company, 1973, ISBN 0-7167-0344-0.