Distanzfunktion

Distanzfunktionen oder Ähnlichkeitsmaße beschreiben den Grad der Übereinstimmung von Vektoren.

In typischen Anwendungen stellen die Vektoren Folgen von Messwerten dar. Ähnlichkeitsmaße werden in Auswertemethoden wie dem Vektorraum-Retrieval und dem Clustering benutzt.

In unpräzisem Sprachgebrauch werden Ähnlichkeitsmaße gelegentlich auch als Metriken bezeichnet; sie sind aber keine Metrik im mathematischen Sinn, denn ihr Wert nimmt zu, wenn die Distanz abnimmt.

Cosinus-Distanzfunktion

Es wird vorausgesetzt, dass wir einen Vektorraum über den reellen Zahlen haben.

Die Distanz ist der Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren

$d(x,y)=\cos \alpha (x,y)={\frac {x\cdot y}{|x||y|}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}}}$

Dabei ist $|x|=\|x\|_{2}$.

Dice-Distanzfunktion

$d(x,y)={\frac {2x\cdot y}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {2\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$

Dabei ist $x^{2}=x\cdot x=\langle x,x\rangle$.

Jaccard- (oder Tanimoto)-Distanzfunktion

$d(x,y)={\frac {x\cdot y}{x^{2}+y^{2}-x\cdot y}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}}$