Tautologie (Logik)

Eine Tautologie (griechisch ταυτολογία - Dasselbe-Sagen), auch Verum (lateinisch verum - das Wahre) genannt, ist ein logischer Satz (eine logische Aussage), der immer wahr ist unabhängig von der Belegung der enthaltenen Variablen; also laut Kripke-Semantik in jeder möglichen Welt . Z.B. "Es regnet, oder es regnet nicht". Dies bedeutet, dass der Wahrheitswert des gesamten Satzes unabhängig ist von der Semantik der Variablen. Allerdings ist der Wahrheitswert des gesamten Satzes abhängig von der Semantik der in ihm auftretenden logischen Ausdrücke. Im Falle der Aussagenlogik wären sie die Junktoren. Somit sind Tautologien eine Unterklasse der analytisch wahren Sätze, welche wahr sind nur aufgrund der in ihnen auftretenden Ausdrücke. Man sagt von einer Tautologie auch, dass sie allgemeingültig sei bzw. dass sie aus der leeren Menge folgt. Man schreibt $\square \models A$ oder kurz $\models A$.

Beispiele

Einige Beispiele aus der klassischen, zweiwertigen Aussagenlogik:

• Für jede Aussage A ist: "Wenn A, dann A" eine Tautologie.

In Zeichen: $\models A\rightarrow A$

• Für jede Aussage A ist: "A oder nicht A" eine Tautologie, da die Aussage A immer entweder wahr oder falsch ist.

In Zeichen: $\models A\lor \neg A$

Diese Aussagen gelten unabhängig davon, ob A selbst wahr ist oder nicht.

• In der Programmierung häufig falsch anzutreffen: WENN (varText $\neq$ "Hallo") ODER (varText $\neq$ "Guten Tag") DANN ...; wird für alle Wahrheitsmöglichkeiten den Wert WAHR liefern. Eine solche Aussage wird im täglichen Sprachgebrauch häufig mit einem oder gesprochen, gemeint ist aber das logische und.

Siehe auch

Theorem, Kontradiktion, erfüllbare Aussage, Schlussregel, Zirkelschluss, Tautologie (Stilfigur), Allgemeingültigkeit