Primzahllücke

Eine Primzahllücke ist die Differenz zwischen zwei benachbarten Primzahlen. Die kleinste mögliche Primzahllücke ist 3 - 2 = 1. Normalerweise sind Primzahllücken _gerade_, da ihre Differenz aus zwei ungeraden Zahlen gebildet wird. Zum Beispiel: 13 minus 11 oder 19 minus 17.

Auftreten von Primzahllücken

• Da eine Lücke der Länge 1 nur zwischen einer geraden und einer ungeraden Primzahl auftreten kann, ist offensichtlich, dass es sie nur einmal gibt. (2 ist die einzige gerade Primzahl).
• Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge, d. h. Lücken der Länge 2 gibt, ist eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik.
• Abgesehen von 1 ist die Länge einer Primzahllücke immer gerade. Bei Primzahllücken gerader Länge müssen beide begrenzenden Zahlen ungerade sein.

Konstruktion von beliebig großen Primzahllücken

n+1-Fakultät

Verfahren

Der einfachste Weg eine Primzahllücke erzeugen, die Mindestens die Länge n hat ist Folgender. Wir betrachten die Zahlen (n+1)! + 2 bis (n+1)! + n.

Da (n+1)! durch 2 teilbar ist, ist es auch (n+1)! + 2

Da (n+1)! durch 3 teilbar ist, ist es auch (n+1)! + 3

usw...

Da (n+1)! durch n teilbar ist, ist es auch (n+1)! + n

Da (n+1)! durch n+1 teilbar ist, ist es auch (n+1)! + n + 1

Dadurch haben wir eine Primzahllücke gefunden, die mindestens die Länge n hat. Ob sie genau die Länge n hat können wir nicht sagen, da dazu (n+1)! + 1 und (n+1)! + n + 2 Primzahlen sein müssten, was wir aber nicht wissen (und auch bei allen anderen Verfahren nicht herausfinden können).

Beispiel für n=5

Da (5+1)! = 720 durch 2 teilbar ist, ist es auch 720+2 = 722

Da 720 durch 3 teilbar ist, ist es auch 720+3 = 723

Da 720 durch 4 teilbar ist, ist es auch 720 + 4 = 724

Da 720 durch 5 teilbar ist, ist es auch 720 + 5 = 725

Da 720 durch 6 teilbar ist, ist es auch 720 + 6 = 726

Wir haben also eine Primzahllücke gefunden, deren Länge mindestens 5 ist. Tatsächlich ist die Länge der Lücke größer, da 721 durch 3 teilbar ist.

Tabelle

n	(n+1)!	(n+1)! + 2	(n+1)! + n + 1	Lücke zwischen
1	2	4	4	3 und 5
2	6	8	9	7 und 10
3	24	26	28	25 und 29
4	120	122	125	119 und 126
5	720	722	726	721 und 727

Anmerkung

Diese Lücken lassen sich sehr schnell berechnen, werden aber schnell sehr groß. Folgende Verfahren erzeugen Lücken in kleineren Zahlen

kgv(1,..,n+1)

Verfahren

Eine Variante der Methode, eine Primzahllücke über die Fakultät zu erzeugen, ist der Weg über das kleinste gemeinsame Vielfache aller Zahlen von 1 bis n+1. Jede Zahl der Form $\operatorname {kgV} (1,..,n+1)+m\$ mit $1\leq m\leq n$ muß durch $m\$ teilbar sein.

Beispiel für n = 5

Da kgv(1,..,6) = 60 durch 2 teilbar ist, ist es auch 60 + 2 = 62

Da 60 durch 3 teilbar ist, ist es auch 60 + 3 = 63

Da 60 durch 2 teilbar ist, ist es auch 60 + 4 = 64

Da 60 durch 5 teilbar ist, ist es auch 60 + 5 = 65

Da 60 durch 2 teilbar ist, ist es auch 60 + 6 = 66

Hier haben wir tatsächlich eine Primzahllücke der Länge 5 gefunden, da 61 und 67 Primzahlen sind. (das ist aber nicht garantiert)

Tabelle

n	kgV(1,..,n+1)	kgV(1,..,n+1) + 2	kgV(1,..,n+1) + n + 1	Lücke zwischen
1	2	4	4	3 und 5
2	6	8	9	7 und 10
3	12	14	16	13 und 29
4	60	62	65	61 und 66
5	60	62	66	61 und 67

Anmerkung

Bei diesem Verfahren sind die Zahlen schon deutlich kleiner, es geht aber noch besser.

Produkt alle Primzahlen bis n+1

Verfahren

Es gibt dann noch ein subtileres Verfahren, das auf einer mathematischen Operation beruht, die im englischen primorial genannt wird (Notation: p_n+1#), also dem Produkt aller Primzahlen von 2 bis p_n+1. Hierbei ist nicht sichergestellt, dass alle natürlichen Zahlen zwischen 2 und p_n+1 als Teiler vorhanden sind, aber dies ist auch gar nicht nötig. Interessant dabei ist, dass jede Zahl $n\leq p_{n+1}$, die selbst keine Primzahl ist, ein Produkt aus Primzahlen zwischen 2 und p_n+1 ist. Daraus folgt, dass für jede Primzahl $p_{n}\$ und jedes $k\$ mit $2\leq k<p_{n+1}$ der $\operatorname {ggT} (p_{n+1}\#,k)\$ größer 1 ist. Ein gemeinsamer Primfaktor teilt auch die Summe p#+k, die damit eine zusammengesetzte Zahlen ist.

Da $p_{n+1}\#$ nicht teilerfremd zu 2 ist, ist $p_{n+1}\#$ + 2 auch nicht teilerfremd zu 2

Da $p_{n+1}\#$ nicht teilerfremd zu 3 ist, ist $p_{n+1}\#$ + 3 auch nicht teilerfremd zu 3

Da $p_{n+1}\#$ nicht teilerfremd zu 4 ist, ist $p_{n+1}\#$ + 4 auch nicht teilerfremd zu 4

usw

Da $p_{n+1}\#$ nicht teilerfremd zu n+1 ist, ist $p_{n+1}\#+n+1$ auch nicht teilerfremd zu n+1

Beispiel für n=5

Da $p_{n+1}\#=2*3*5=30$ durch 2 teilbar ist, ist es auch 30 + 2 = 32

Da 30 durch 3 teilbar ist, ist es auch 30 + 3 = 33

Da 30 durch 2 teilbar ist, ist es auch 30 + 4 = 34

Da 30 durch 5 teilbar ist, ist es auch 30 + 5 = 35

Da 30 durch 2 teilbar ist, ist es auch 30 + 6 = 36

Hier haben wir die Lücke gefunden, die tatsächlich die Länge 5 hat, da 31 und 37 Primzahlen sind. (das ist aber nicht garantiert)

Tabelle

n	$p_{n+1}\#$	$p_{n+1}\#+2$	$p_{n+1}\#+n+1$	Lücke zwischen
1	2	4	4	3 und 5
2	6	8	9	7 und 10
3	6	8	10	7 und 11
4	30	32	35	31 und 36
5	30	32	36	31 und 37

Anmerkung

Wir finden jetzt also wieder eine Primzahllücke, die mindestens die Länge n hat. Diese hier wird aber durch deutlich kleinere Zahlen begrenzt als die oberen.

Das erste Auftreten einer Lücke einer bestimmten Größe

Eine Formel, die für ein n das erste Auftreten einer Primzahllücke der Länge n angibt ist nicht bekannt.

Weblinks

• Prime Gaps -- from MathWorld (englisch)
• The Top-20 Prime Gaps (englisch)
• The Gaps Between Primes (englisch)