Binärsystem

Das Binärsystem (oft auch als Dualsystem bezeichnet) ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Genauer ist es das System der 2-adische Darstellung von Zahlen, d.h. die Darstellung von Zahlen zur Basis 2. Dies bedeutet, dass man bei dieser Darstellung von Zahlen mit zwei Zahlzeichen (oft auch Ziffern genannt) auskommt. Üblicherweise werden die Symbole 0 oder 1 verwendet. Zahlen, die im Binärsystem Zahlensystem dargestellt werden, nennt man Binärzahlen bzw. Dualzahlen.

Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich, wie die Darstellung im gewöhnlich verwendeteten Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass die Wertigkeit der Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz, sondern durch die passende Zweierpotenz bestimmt wird. Beispielsweise stellt die Folge 1101 nicht (wie im Dezimalsystem) die Tausendeinhundertundeins dar, sondern die Dreizehn, denn im Binärsystem berechnet sich der Wert durch:

$1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=[13]_{10}$

und nicht wie im Dezimalsystem durch:

$1\cdot 10^{3}+1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}=[1101]_{10}.$

Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 10 soll darauf hinweisen, dass die Resultate im gebräuchlichen Dezimalsystem dargestellt sind. Eine ausführlichere und verallgemeinterte Erläuterung findet man im Artikel Stellenwertsystem.

Die Möglichkeit Zahlen in binärer Form darzustellen, wurde wohl zuerst von Leibniz entdeckt. Leibniz selbst schrieb zu seiner Entdeckung:

Um Alles aus Nichts zu erzeugen, reicht Eins.
Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum.

Das Binärsystem ist besonders wichtig in der Digitaltechnik, da die Ziffern der Binärzahlen leicht durch Zustände wie Strom an/Strom aus oder Spannung/Masse symbolisiert werden können. Auf diese Weise sind sehr fehlerresistente Schaltungen möglich. Beispielsweise lässt sich in einer Schaltung Masse als 0 und 5V gegen Masse als 1 annehmen. Sinkt nun die Spannung im Schaltkreis auf 4.5V ab, so kann dies immer noch zuverlässig als 1 gedeutet werden. Wären hingegen z.B. alle zehn Ziffern des Dezimalsystems als Spannungswerte codiert, so wäre dies bereits eine falsche Ziffer.

Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Binärzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperation Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Tatsächlich werden die benötigten Algorithmen sogar einfacher und lassen sich insbesondere mit einfachen logischen Schaltungen elektronisch realisieren. Die Einführung von Binärzahlen in die Rechentechnik brachte daher eine ganze Reihe Vorteile.

Durch die kleine Basis ergibt sich jedoch der Nachteil, dass Zahlen im Binärsystem im Verhältnis zu Dezimalzahlen relativ lang sind (siehe Tabelle unten). Dies hat zur Verbreitung des Hexadezimalsystems geführt, welches die Basis 16 besitzt. Durch die Teilbarkeit von 16 durch 2, ist es besonders einfach möglich Binärzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen. Hexadezimalzahlen haben durch die höhere Basis eine vergleichsweise kurze Darstellung. So können vier Binärstellen durch eine Hexadezimalstelle ausgedrückt werden. Andererseits ist die Basis klein genug ist, so dass die Zahl der Symbole noch leicht zu merken ist.

Binärsystem	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
Dezimalsystem	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Hexadezimalsystem	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10