Steinerscher Satz

Der Steinersche Satz (auch Satz von Steiner oder Steiner-Regel) geht auf Untersuchungen von Jakob Steiner zurück und dient der Berechnung des Trägheitsmomentes eines starren Körpers für parallel verschobene Drehachsen.

Das Trägheitsmoment ist nicht alleinige Eigenschaft eines Körpers, sondern abhängig von der betrachteten Drehachse. Ist das Trägheitsmoment bezüglich einer Drehachse durch den Massenmittelpunkt bekannt, so kann mit dem Satz von Steiner das Trägheitsmoment für alle Drehachsen, die parallel zu dieser sind, berechnet werden.

Der Satz wird auch verwendet, um Flächenträgheitsmomente von Balken-Querschnitten zu bestimmen.

Anwendung auf Trägheitsmomente

Trägheitsmomente sind meistens für Drehachsen A durch den Massenmittelpunkt tabelliert. Falls das Trägheitsmoment für eine dazu parallele Drehachse B benötigt wird, kann der Steinersche Satz angewendet werden und das Trägheitsmoment $J_{B}$ ergibt sich zu:

$J_{B}=J_{\mathrm {A} }^{(S)}+m\cdot l^{2}$

Dabei ist $J_{\mathrm {A} }^{(S)}$ das Trägheitsmoment des Körpers mit Masse m bezüglich der Drehachse A, die durch seinen Massenmittelpunkt (praktisch gleich dem Schwerpunkt) geht und parallel mit Abstand l zur Drehachse B liegt.

Bei Anwendung des Steinerschen Satzes ist zweierlei zu beachten:

• Das Trägheitsmoment eines Körpers ist dann am geringsten, wenn die Drehachse durch den Schwerpunkt geht. Das folgt daraus, dass der Steinersche Anteil stets positiv ist, wenn man eine Verschiebung vom Schwerpunkt weg durchführt.
• Mit mehrmaliger Anwendung des Steinerschen Satzes kann das Trägheitsmoment zu einer beliebigen parallelen Achse berechnet werden, auch wenn das anfangs gegebene Trägheitsmoment nicht durch den Massenmittelpunkt geht.

Anwendung auf Flächenträgheitsmomente

Liegt der Flächenschwerpunkt eines Körper-Querschnitts nicht im Ursprung des Koordinatensystems, kann sein Flächenträgheitsmoment mit dem Steinerschen Satz berechnet werden:

$J_{{\bar {y}}{\bar {y}}}=J_{yy}+{\bar {z}}_{S}^{2}\cdot A$

$J_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=J_{zz}+{\bar {y}}_{S}^{2}\cdot A$

$J_{{\bar {y}}{\bar {z}}}=J_{yz}+{\bar {y}}_{S}\cdot {\bar {z}}_{S}\cdot A$

Für $J_{y}$ wird der Abstand des Flächenschwerpunktes zum Ursprung ${\bar {z}}_{S}$ quadriert, mit der Fläche des Querschnitts $A$ multipliziert und auf das (tabellarisch erfasste) Flächenträgheitsmoment addiert. Es ist ersichtlich, dass bei $z=0$ der Steiner-Term wegfällt.

Praktisch ist, dass man mit diesen Formeln komplexe (z. B. T-Träger) in einfache Körper (z. B. Rechtecke) aufteilen kann, deren Flächenträgheitsmoment bereits bekannt ist.

Für $J_{y}$ gilt dann beispielsweise:

$J_{y}=\int _{A}z^{2}\cdot {\mathit {d}}A=\int _{A_{1}}z^{2}\cdot {\mathit {d}}A+\int _{A_{2}}z^{2}\cdot {\mathit {d}}A+\dots +\int _{A_{n}}z^{2}\cdot {\mathit {d}}A=J_{{\bar {y}}1}+J_{{\bar {y}}2}+\dots +J_{{\bar {y}}n}$,

wobei $A$ die Fläche der Figur ist und $A_{1}$ bis $A_{n}$ die durch die Zerlegung entstandenen Teilflächen sind.

Verallgemeinerung durch Trägheitstensoren

Ist der Trägheitstensor im Schwerpunkt $I^{(S)}$ bekannt, ergibt sich der Trägheitstensor $I$ im durch den Vektor ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}$ parallel verschobenen Koordinatensystem durch die Summe aus $I^{(S)}$ und dem Trägheitstensor eines Massepunktes der Masse $m$ mit dem Ortsvektor ${\vec {a}}$:

$I_{ij}=I_{ij}^{(S)}+m(\sum a_{k}^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j})$

d.h.:

$I=I^{(S)}+m{\begin{pmatrix}a_{2}^{2}+a_{3}^{2}&-a_{1}a_{2}&-a_{1}a_{3}\\-a_{1}a_{2}&a_{1}^{2}+a_{3}^{2}&-a_{2}a_{3}\\-a_{1}a_{3}&-a_{2}a_{3}&a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\end{pmatrix}}=I^{(S)}+m{\tilde {a}}^{T}{\tilde {a}}$

wobei

${\tilde {a}}={\begin{pmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{pmatrix}}$

bzw. in Summenkonvention mit dem total antisymmetrischen ε-Tensor

${\tilde {a}}_{ij}=-\epsilon _{ijk}a_{k}$.

Daher gilt auch die Eigenschaft

$-{\tilde {a}}={\tilde {a}}^{T}$.

Durch die Verschiebung kann es vorkommen, dass die Achsen des neuen Koordinatensystems nicht mehr mit den Hauptträgheitsachsen durch den neuen Punkt zusammenfallen.

Quellen

Technische Mechanik; Alfred Böge