Impulserhaltungssatz

Der Impulserhaltungssatz besagt, dass in einem abgeschlossenen System die Summe der Impulse vor dem Stoß gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß ist. Etwas allgemeiner ist die Formulierung, (die ohne den Begriff Stoß auskommt): in einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls ${\vec {p}}$ des Systems, das aus $n$ miteinander wechselwirkenden Teilchen besteht, konstant, d.h.

${\vec {p}}={\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}+......+{\vec {p}}_{n}=konstant,$

(Vorsicht: dieser Satz gilt streng genommen nur vektoriell!) Hierbei bedeutet abgeschlossen, dass nur Paarwechselwirkungen zugelassen werden , d.h. alle auftretenden Kräfte können als Paarkräfte zwischen den Teilchen $i$ und $j$ gemäß

${\vec {F}}_{ij}=F(|{\vec {r}}_{ij}|){\vec {r}}_{ij}$

mit dem Verbindungsvektor ${\vec {r}}_{ij}$ zwischen den Teilchen formuliert werden. Dies ist offensichtlich bei vollkommen elastischen Stößen der Fall. Das bedeutet also auch, daß keine externen Kraftfelder wirken.

Unter den genannten, mathematisch sehr einfach zu fassenden Voraussetzungen, kann der Impulserhaltungssatz direkt aus den Newtonschen Axiomen abgeleitet werden.

${\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}+...+{\vec {p}}_{n}={\vec {p}}_{1}^{'}+{\vec {p}}_{2}^{'}+...+{\vec {p}}_{n}^{'}$

mit den Impulsen ${\vec {p}}_{i}$ vor und ${\vec {p}}_{i}^{'}$ nach dem Stoß. Für einen Stoßvorgang lässt sich also die folgende Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten ${\vec {v}}_{i}$ vor und den Geschwindigkeiten ${\vec {v}}_{i}^{'}$ nach dem Stoß aufstellen

$m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}+...+m_{n}{\vec {v}}_{n}=m_{1}{\vec {v}}_{1}^{'}+m_{2}{\vec {v}}_{2}^{'}+...+m_{n}{\vec {v}}_{n}^{'}$

Ebenso lässt sich dies als Energieerhaltungssatz darstellen, der unter den gegebenen Voraussetzungen, folgende Form annimmt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle {{p_{1}^2} \over {2m_{1}}} + {{p_{2}^2} \over {2m_{2}}} + ... + {{p_{n}^2} \over {2m_{n}}} = {{p_{1}^{'2}} \over {2m_{1}}} + {{p_{2}^{'2}} \over {2m_{2}}} + ... + {{p_{n}^{'2}} \over {2m_{n}}} + Q}

wobei Q die Differenz der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß ist. Das bedeutet, dass die kinetische Energie des Systems nach dem Stoß kleiner oder größer sein kann, wobei diese Energie Q aus (oder zu) anderen Energiearten, wie potentielle Energie oder Wärmeenergie, überführt wurde. Die potentielle Energie taucht nicht explizit auf, da sie vor und nach den Stoß sich höchstens um eine Differenz unterscheiden, die allerdings bereits in Q enthalten ist. Somit heben sie sich auf.

Wiederum als Beziehung zwischen den Massen und Geschwindigkeiten entsteht folgende Formel:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („/media/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination“): {\displaystyle {1 \over 2}m_{1}v_{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}v_{2}^{2}+...+{1 \over 2}m_{n}v_{n}^{2}={1 \over 2}m_{1}v_{1}^{'2}+{1 \over 2}m_{2}v_{2}^{'2}+...+{1 \over 2}m_{n}v_{n}^{'2}+Q} ,

wobei $m_{i}$ die Masse des $i.$ am Stoß beteiligten Teilchens bezeichnet.

Fälle

Äußere Kräfte

Wirken äußere Kräfte, wie beispielsweise beim Stoß auf einer schiefen Ebene, so gilt der Impulserhaltungssatz näherungsweise - eingeschränkt auf die Zeitpunkte kurz vor und kurz nach dem Stoß -, wenn die äußeren Kräfte im Stoßintervall vernachlässigbar klein sind. Ansonsten bzw. für genaue(re) Betrachtungen müssen äussere Kräfte mit berücksichtigt werden.

Elastischer Stoß

Bei einem vollelastischem Stoß ist die Summe der kinetischen Energien vor dem Stoß gleich der Summe der kinetischen Energien nach dem Stoß. Es wird also keine kinetische Energie innerhalb des Systems umgewandelt.

Q = 0

Unelastischer Stoß

Bei einem inelastischen Stoß geht ein Teil der kinetischen Energie in "innere Energie" über. Meist macht sich dies durch eine Temperaturänderung bemerkbar. Das System besitzt also nach dem Stoß weniger Energie. Q > 0

Superelastischer Stoß

Beim superelastischen Stoß geht innere Energie mindestens einer der Stoßpartner in kinetische Energie über. Die kinetische Energie ist nach dem "Stoß zweiter Art" größer als vor dem Stoß.

Q < 0

Reaktiver Stoß

Beim reaktiven Stoß kommt es zu Reaktionen, wie zB chemische Reaktionen oder beim Erzeugen neuer Teilchen durch Stöße hochenergetischer Teilchen. Dabei kann sich neben der Geschwindigkeit auch die Masse ändern.

Strömungsmechanik

Im Bereich der Strömungsmechanik wird unter der Kontinuumsannahme die auf ein infinitesimal kleines Volumenelement bezogene (differentielle) Impulsgleichung verwendet:

$\partial (\rho {\vec {v}})/\partial t+\nabla \cdot (\rho {\vec {v}}{\vec {v}})=\nabla \cdot T-\nabla p+{\vec {f}}$

$\rho$ = Dichte, $t$ = Zeit, $T$ = Spannungstensor, $p$ = Druck, ${\vec {f}}$ = Volumenkräfte (bspw. Gravitation ${\vec {f}}=-\rho {\vec {g}}$)