Studentsche t-Verteilung

Students t-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und wurde 1908 von William Sealey Gosset (Pseudonym Student) entwickelt. Er hatte festgestellt, dass standardisierte normalverteilte Daten nicht mehr normalverteilt sind, wenn die Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz geschätzt werden muss. Man könnte also die t-Verteilung gewissermaßen als "Designerverteilung" bezeichnen.

Definition

Die t-Verteilung beschreibt die Verteilung eines Ausdruckes

\mathrm {t_{m}={\frac {N(0,1)}{\sqrt {\frac {\chi _{m}^{2}}{m}}}}}

wobei N(0,1) eine standardnormalverteilte Zufallsvariable bedeutet und $\mathrm {\chi _{m}^{2}}$ eine χ²-verteilte mit m Freiheitsgraden. Die Zählervariable muss unabhängig von der Nennervariable sein. Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist dann symmetrisch bezüglich ihres Erwartungswertes 0. Die Werte der Verteilungsfunktion können nicht analytisch berechnet werden und liegen in der Regel tabelliert vor.

Beispielsweise ist die Prüfgröße für den statistischen Test H₀: μ = μ₀ des Erwartungswertes einer normalverteilten Zufallsvariablen mit unbekannter Varianz

t={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu _{0}}{S_{n}}}={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu _{0}}{\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {X}}_{n})^{2}}}}

t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden. $S_{n}$ ist der Schätzer für die Standardabweichung und ${\bar {X}}_{n}$ ist der Stichprobenmittelwert.

Parameter

Median	$\mathrm {{\tilde {x}}=0}$
Modus	$\mathrm {x_{mod}=0}$
Erwartungswert:	$\mathrm {E(t_{m})=\left\{{{\emptyset \|m=\leq 1} \atop {0\|m\geq 2}}\right.}$
Varianz:	$\mathrm {\sigma ^{2}(t_{m})=\left\{{{\emptyset \|m=\leq 2} \atop {{\frac {m}{m-2}}\|m\geq 3}}\right.}$
Schiefe:	$\mathrm {v(t_{m})=\left\{{{\emptyset \|m=\leq 3} \atop {0\|m\geq 4}}\right.}$
Wölbung:	$\mathrm {\beta _{2}(t_{m})=\left\{{{\emptyset \|m=\leq 4} \atop {{\frac {6}{m-4}}\|m\geq 5}}\right.}$

Skizze

Eine Skizze der t-Verteilung erhält man in GNU R mit dem Befehl

plot(x,dt(x,df=f))

Zu beachten ist, dass

für f ein positiver Wert für die Freiheitsgrade eingesetzt werden muss
x die Stellen auf der x-Achse bezeichnet, für welche die Dichte gezeichnet werden soll (z. B. mit x<-seq(-2,3,length=1000))

Nichtzentrale t-Verteilung

Ist der Zähler der t-verteilten Zufallsvariablen normalverteilt mit einem Erwartungswert μ ≠ 0, handelt es sich um eine so genannte nichtzentrale t-Verteilung mit dem Nichtzentralitätsparameter μ. Diese Verteilung wird vor allem zur Bestimmung des β-Fehlers bei Hypothesentests mit t-verteilter Prüfgröße verwendet.

Näherung durch die Normalverteilung

Ab dreißig Freiheitsgraden kann anstelle der t-Verteilung näherungsweise die Standardnormalverteilung verwendet werden.

Kritische Werte t^* der t-Verteilung

v	Irrtumswahrscheinlichkeit α/2 für zweiseitige Fragestellung
	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.0005
	Irrtumswahrscheinlichkeit α für einseitige Fragestellung
	0.20	0.10	0.050	0.020	0.010	0.0010
1	3.078	6.314	12.706	31.821	63.657	318.309
2	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	22.327
3	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	10.215
4	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	7.173
5	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	5.893
6	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	5.208
7	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.785
8	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	4.501
9	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	4.297
10	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	4.144
11	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	4.025
12	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.930
13	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.852
14	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.787
15	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.733
16	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.686
17	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.646
18	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.611
19	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.579
20	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.552
21	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.527
22	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.505
23	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.485
24	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.467
25	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.450
26	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.435
27	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.421
28	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.408
29	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.396
30	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.385
40	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	3.307
50	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	3.261
60	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	3.232
70	1.294	1.667	1.994	2.381	2.648	3.211
80	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	3.195
90	1.291	1.662	1.987	2.368	2.632	3.183
100	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	3.174
200	1.286	1.653	1.972	2.345	2.601	3.131
300	1.284	1.650	1.968	2.339	2.592	3.118
400	1.284	1.649	1.966	2.336	2.588	3.111
500	1.283	1.648	1.965	2.334	2.586	3.107
∞	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	3.090