Lemniskate von Bernoulli

Die Lemniskate des Bernoulli (benannt nach dem schweizerischen Mathematiker Jakob Bernoulli) ist eine spezielle ebene Kurve, genauer gesagt eine algebraische Kurve 4. Ordnung. Sie hat die Form einer liegenden Acht und ist ein Spezialfall der Cassinischen Kurven.

Gleichungen der Lemniskate des Bernoulli

• Kartesische Koordinaten: $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}-2a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\,=\,0$

• Polarkoordinaten: $r=a{\sqrt {2\cos(2\varphi )}}$

• Parametergleichung: $x={\frac {a{\sqrt {2}}\cos t}{1+(\sin t)^{2}}};\qquad y={\frac {a{\sqrt {2}}\sin t\cos t}{1+(\sin t)^{2}}}$

Eigenschaften der Lemniskate des Bernoulli

• Die folgende geometrische Eigenschaft kann zur Definition der Kurve herangezogen werden: Gegeben seien eine positive reelle Zahl a und zwei Punkte $F_{1}$ und $F_{2}$, die voneinander die Entfernung $2a$ haben. Dann gilt für alle Punkte P der Lemniskate die Eigenschaft

${\overline {F_{1}P}}\cdot {\overline {F_{2}P}}=a^{2}$

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.

• Die Lemniskate des Bernoulli ist achsensymmetrisch bezüglich der x-Achse und der y-Achse und punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs. Auf der x-Achse liegen neben dem Ursprung die Kurvenpunkte $(a{\sqrt {2}}|0)$ und $(-a{\sqrt {2}}|0)$.

• Der Ursprung ist ein Doppelpunkt der Kurve, wird also zweimal durchlaufen. Die beiden Tangenten im Ursprung stimmen mit den Winkelhalbierenden der Quadranten des Koordinatensystems überein.

• Die beiden von der Lemniskate eingeschlossenen Flächen haben jeweils den Flächeninhalt $a^{2}$.

Siehe auch: Liste geometrischer Kurven