Gamow-Faktor

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Der Gamow-Faktor dient zur Berechnung der Tunnel-Wahrscheinlichkeit eines Teilchens innerhalb eines Atomkerns, also der Wahrscheinlichkeit, dass es die Coulombbarriere überwinden und den Kern verlassen kann. Mit dem Gamow-Faktor kann z. B. der Alpha-Zerfall rechnerisch modelliert werden.

Alpha-Zerfall

Beim Alpha-Zerfall verlässt ein Alpha-Teilchen, welches aus zwei Neutronen und zwei Protonen besteht, den Atomkern, der dadurch an Masse und Ladung verliert. Seine Ordnungszahl Z, Neutronenzahl N und Massenzahl A ändern sich daher:

• $Z\to Z-2$
• $N\to N-2$
• $A\to A-4$.

Da man den Grundzustand eines Kerns effektiv wie ein Fermi-Gas im Potentialtopf betrachten kann, ist es plausibel, dass sich innerhalb des Kerns mit gewisser Wahrscheinlichkeit mehrere Nukleonen zusammenfinden und einen gebundenen Zustand bilden können. Dabei wird Bindungsenergie frei, die die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass das gebildete Teilchen die Coulombbarriere des Restkerns durchtunnelt.

Anschaulich ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit für die Bildung solcher Nukleonverbindungen im Kern sehr stark mit wachsender Zahl der beteiligten Nukleonen abfällt. Die Formierung von Alpha-Teilchen (⁴He-Kernen) ist tatsächlich häufig, und da ⁴He ein doppelt magischer Kern ist, wird eine entsprechend große Bindungsenergie frei.

Die Transmission geschieht dann mit einer Wahrscheinlichkeit, welche sich über die WKB-Näherung berechnen lässt:

$T=\exp(-2G)$ mit dem Gamow-Faktor $G=\int _{R}^{r_{E}}dr{{\sqrt {2m(E-V(r))}}d \over \hbar }$

Hier ist $R$ der Radius des Kern-Potentialtopfes und $r_{E}-R$ die Breite, die ein Teilchen mit Energie $E$ durchtunneln muss. Für das Coulomb-Potential des Restkerns ergibt dies:

$G\approx {\pi 2(Z-2)\alpha \over \beta },\;\beta ={v \over c}\sim {\sqrt {E}}$

Die Gesamtrate, mit der ein Kern durch Alphaemission zerfällt, ist unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit für die Formierung eines Alpha-Teilchens im Kern $w(\alpha )$ und der Frequenz, mit der das Alpha-Teilchen im Kernpotential umläuft $\nu ={v_{0} \over 2b}$ gegeben durch:

$\Gamma =w(\alpha )\cdot {v_{0} \over 2b}\cdot \exp(-2G)$

Hierbei ist $v_{0}={\sqrt {\frac {2\Delta E_{\text{zum Boden des Potentialtopfes}}}{m_{\alpha }}}}$ und b die Breite des Potentialtopfes.

Die daraus berechnete Lebensdauer hängt infolgedessen sehr stark von $G$ und damit von ${\sqrt {E}}$ ab. Dies erklärt, warum die in der Natur auftretenden Lebensdauern zwischen einigen Nanosekunden und $10^{17}$Jahren variieren.

Quellen

• Der Artikel enthält ab Version [1] Text aus dem Artikel Alpha-Zerfall auf Wikia, der unter Creative Commons Attribution-Share Alike License 3.0 lizenziert ist, eine Liste der Autoren ist hier einzusehen.