Rhombentriakontaeder

Ein Rhombentriakontaeder ist ein catalanischer Körper und dual zum Ikosidodekaeder. Es ist auch der Hüllkörper, der durch die Vereinigungsmenge der Durchdringung eines Dodekaeders und Ikosaeders beschrieben wird. Man erhält auch ein Rhombentriakontaeder, indem man gerade Pyramiden auf ein Ikosaeder oder Dodekaeder aufsetzt, von denen je zwei Seitenflächen einander zu einer ergänzen.

Das Rhombentriakontaeder besitzt 30 rhombenförmige Flächen, 32 Ecken und 60 Kanten. An 12 der Ecken grenzen 5 Kanten und an die übrigen 20 Ecken grenzen 3 Kanten an. Das Längenverhältnis der Diagonalen der Rhombenflächen entspricht exakt dem Goldenen Schnitt.

Formeln

Für das Polyeder

Größen eines Rhombentriakontaeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V=4a^{3}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$
Oberflächeninhalt	$O=12a^{2}{\sqrt {5}}$
Inkugelradius	$\rho =a\,{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}$
Kantenkugelradius	$r=\,{\frac {a}{5}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)$
Flächenwinkel = 144°	$cos\,\alpha =-{\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$

Für die Rhomben

Größen des Rhombus mit Kantenlänge a
Flächeninhalt	$A={\frac {2}{5}}a^{2}{\sqrt {5}}$
Inkreisradius	$r={\frac {a}{5}}{\sqrt {5}}$
Lange Diagonale	$e=a\,{\sqrt {\frac {10+2{\sqrt {5}}}{5}}}={\frac {f}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$
Kurze Diagonale	$f=a\,{\sqrt {\frac {10-2{\sqrt {5}}}{5}}}$
Spitze Winkel (2) ≈ 63,435°	$\cos \,\alpha ={\frac {1}{5}}{\sqrt {5}}$
Stumpfe Winkel (2) ≈ 116,565°	$\cos \,\beta =-{\frac {1}{5}}{\sqrt {5}}$