Division mit Rest
Eine allgemeine und formale Definition ist in Mathematik:euklidischer Ring oder auch unter Zahlentheorie und Restklasse zu finden, hier folgt die anschauliche Darstellung für die natürlichen Zahlen.
Wenn zwei natürliche Zahlen, der Dividend a und der Divisor b (ungleich 0), mit Rest dividiert werden sollen, also wenn
- a : b
berechnet werden soll, so wird gefragt, wie man die Zahl a als Vielfaches von b und einem "kleinen Rest" darstellen kann:
- a = b · c + r.
Hier sind c der so genannte Ganzzahlquotient und r der Rest. Entscheidende Nebenbedingung ist, dass r eine Zahl in ist. Hierdurch wird r eindeutig bestimmt.
Der Rest ist also die Differenz zwischen dem Dividenden und der größten Zahl, die kleiner als der Dividend ist und durch den Divisor teilbar ist, für die die Division also keinen Rest ergibt. Ein Rest ungleich 0 ergibt sich folglich nur, wenn zwei Zahlen nicht Vielfache voneinander sind. Man sagt auch: Der Dividend ist nicht durch den Divisor teilbar, weshalb ein Rest übrigbleibt.
Ganze Zahlen
Ist b eine negative ganze Zahl, dann gibt es keine Zahlen zwischen 0 und b-1. Stattdessen fordert man, dass der Rest zwischen 0 und |b|-1 (dem Betrag von b-1) liegt.
Alternativ kann man aber auch verlangen, dass der Rest in diesem Fall zwischen b+1 und 0 liegt, also dasselbe Vorzeichen hat wie b.
Eine dritte Möglichkeit ist, den betragskleinsten Rest zu wählen. Diese Variante liefert für a = b · c + r die beste Näherung b · c für a.
Beispiel
Bei einer Division durch 3 kann der Rest die Werte 0, 1 oder 2 annehmen. Sehr anschaulich wird das, wenn man die Zahlen durch Striche ersetzt:
Division 7 durch 3:
7 = IIIIIII 3 = III
Jetzt kann man immer je 3 Striche zu einem Block gruppieren.
7 = III III I
Der letzte Block, der entsteht, bildet den Rest. Dieser kann aus keinem, einem oder zwei Strichen bestehen.
Die Division mit Rest kann auch mit negativen Zahlen durchgeführt werden:
7 : 3 = 2 Rest 1 -7 : 3 = -3 Rest 2 7 : -3 = -2 Rest 1 -7 : -3 = 3 Rest 2
Man beachte, dass DIV- und MOD-Befehle (für ganzzahlige Division und Restbildung) in den meisten Programmiersprachen negative Zahlen anders behandeln:
7 DIV 3 = 2 Rest 1 -7 DIV 3 = -2 Rest -1 7 DIV -3 = -2 Rest 1 -7 DIV -3 = 2 Rest -1
In einigen Programmiersprachen (z.B. Ada) und in Computer-Algebra-Systemen gibt es daher zwei Restoperatoren: Einen für den nichtnegativen Rest und einen für den Rest mit demselben Vorzeichen wie der Dividend.
Verallgemeinerung: Reelle Zahlen
Sind a und b reelle Zahlen, b ungleich 0, dann kann man eine Division mit Rest folgendermaßen definieren: Der ganzzahlige Quotient c und Rest r im halboffenen Intervall [0, |b|] sind diejenigen (eindeutig bestimmten) Zahlen, die die Gleichung a = b · c + r erfüllen.
Auch hier gibt es die Alternativen, dem Rest dasselbe Vorzeichen wie b zu geben oder den betragskleinsten Rest zu wählen. Letztere Alternative entspricht der Rundung: Die Division mit Rest von a durch 1 liefert eine ganze Zahl c und eine reelle Zahl r mit Betrag ≤ 0,5, die die Gleichung a = c + r erfüllen. Die Zahl c ist der auf ganze Zahlen gerundete Wert von a.
Beachte, dass hierbei der Quotient nicht aus derselben Menge (der reellen Zahlen) genommen wird wie Divisor und Dividend.
Verallgemeinerung: Polynomdivision
Die Division mit Rest ist nicht auf ganze Zahlen beschränkt, sondern auch für andere Ringe definiert. Sowohl Quotient als auch Rest werden dabei aus demselben Ring genommen wie Divisor und Dividend.
Ein Beispiel ist die Polynomdivision: Hier ist der Rest stets ein Polynom von kleinerem Grad als der Divisor.
(2 x^2 + 4 x + 5) : (x + 1) = 2 x + 2
2 x^2 + 2 x
-----------
2 x + 5
2 x + 2
-------
3
2x + 2 ist das Ergebnis und 3 der Rest.
Ein Ring, in dem eine Division mit Rest möglich ist, heißt euklidischer Ring.