Laplace-Runge-Lenz-Vektor

Der Laplace-Runge-Lenz-Vektor (in der Literatur auch Runge-Lenz-Vektor, Lenzscher Vektor etc., nach Pierre-Simon Laplace, Carl Runge und Wilhelm Lenz) ist eine Erhaltungsgröße der Bewegung im $V(r)=-\alpha /r$-Potential (Coulomb-Potential, Gravitationspotential).

In der klassischen Mechanik wird der Vektor hauptsächlich benutzt, um die Form und Orientierung der Umlaufbahn eines astronomischen Körpers um einen anderen zu beschreiben, etwa die Bahn eines Planeten um seinen Stern. Für zwei auf Basis der Newtonschen Physik interagierende Körper ist der Vektor eine Konstante der Bewegung, d. h. er ist auf jedem Punkt der Bahn gleich (Erhaltungsgröße).

Definition

Illustration des Laplace-Runge-Lenz-Vektors an einer Ellipsenbahn für zwei unterschiedliche Winkel

Er ist definiert als

${\vec {A}}={\vec {p}}\times {\vec {L}}-m\alpha {\vec {e}}_{r}$

mit

• ${\vec {p}}$: Impuls des Körpers
• ${\vec {L}}$: Drehimpuls des Körpers
• $m$: Masse des Körpers
• $\alpha$: Proportionalitätskonstante des Potentials, ($\gamma mM$ für Kepler, $q_{1}q_{2}/(4\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r})$ für Coulomb)
• ${\vec {e}}_{r}={\vec {r}}/r$: radialer Einheitsvektor
• ${\vec {r}}$: Ortsvektor des Körpers
• $r=\left|{\vec {r}}\right|$: Betrag des Ortsvektors

und ermöglicht die elegante Herleitung der Bahnkurve $r(\varphi )$ eines Teilchens (z.B. Planet im Keplerproblem, $\alpha$-Teilchen gestreut an Atomkern), auf das die resultierende Kraft eines solchen Potentials wirkt. Dabei ist ${\vec {A}}$ der Achsenvektor: Er zeigt vom Brennpunkt der Bahn (Kraftzentrum) zum nächstgelegenen Bahnpunkt (Perihel bei der Erdbahn) und hat somit eine Richtung parallel zur großen Bahnachse.

Auch in der Quantenmechanik des Wasserstoffatoms spielt der Vektor eine Rolle.

Beweis der Erhaltung

In einem System mit 1/r-Potential gilt Isotropie. Daher gilt Drehimpulserhaltung mit der Konsequenz, dass die Bewegung in einer Ebene senkrecht zum Drehimpuls stattfindet und es eine einfache Beziehung zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit gibt:

${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}=mr^{2}{\vec {\omega }}=\mathrm {const}$

Die Winkelgeschwindigkeit bestimmt die Zeitableitung des zweiten Terms von ${\vec {A}}$, denn ein Einheitsvektor kann sich nur durch Drehung ändern:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\,m\alpha \,{\vec {e}}_{r}=m\alpha \,{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{r}$

Das Potential V erzeugt eine Kraft nach

${\vec {F}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\vec {r}}}}=\alpha {\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}}}{\frac {1}{r}}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\,{\vec {e}}_{r}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}$

wobei die letzte Gleichheit aus dem Newtonschen Gesetz folgt. Für den ersten Term von ${\vec {A}}$ gilt damit

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {p}}\times {\vec {L}}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}\right)\times \left(mr^{2}{\vec {\omega }}\right)=m\alpha \,{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{r}.$

Durch Differenzbildung folgt nun die Konstanz des Runge-Lenz-Vektors

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {A}}={\vec {0}}.$

Herleitung der Bahnkurve

Hierfür ist normalerweise, d. h. wenn man das Arbeiten mit der Energie als Erhaltungsgröße vorzieht, eine aufwändige Integration mit mehreren Substitutionen nötig. Dagegen folgt aus der Multiplikation des Runge-Lenz-Vektors mit ${\vec {r}}$ nun einfach nach der Kosinusbeziehung des Skalarprodukts (pfeillose Buchstaben kennzeichnen stets die Beträge des zugehörigen Vektors):

${\vec {A}}\cdot {\vec {r}}=Ar\cos \varphi ={\vec {r}}\cdot \left({\vec {p}}\times {\vec {L}}\right)-m\alpha r={\vec {L}}\cdot \left({\vec {r}}\times {\vec {p}}\right)-m\alpha r=L^{2}-m\alpha r$

Hierbei wurde die Zyklizität des Spatproduktes sowie die Drehimpulsdefinition genutzt. $\varphi$ bezeichnet den Winkel zwischen Runge-Lenz- und Ortsvektor.

Durch Umschreiben entsteht die typische Kegelschnittgleichung in Polarkoordinaten:

$r={\frac {L^{2}/(m\alpha )}{1+\varepsilon \cos \varphi }}$

Dabei ist $\epsilon =A/m\alpha$ die numerische Exzentrizität des Kegelschnitts, die die Bahnform Kreis ($\epsilon =0$), Ellipse ($0<\epsilon <1$), Parabel ($\epsilon =1$) oder Hyperbel ($\epsilon >1$) bestimmt.

Eigenschaften

• Der Runge-Lenz-Vektor liegt in der Bahnebene, denn er steht senkrecht zum Drehimpulsvektor:

${\vec {L}}\cdot {\vec {A}}={\vec {L}}\cdot \left({\vec {p}}\times {\vec {L}}\right)-m\alpha {\frac {{\vec {L}}\cdot {\vec {r}}}{r}}={\vec {p}}\cdot \left({\vec {L}}\times {\vec {L}}\right)-m\alpha {\frac {\left({\vec {r}}\times {\vec {p}}\right)\cdot {\vec {r}}}{r}}=0$

• Der Runge-Lenz-Vektor zeigt vom Kraftzentrum der Bahn (einem der beiden Brennpunkte) zum Perizentrum, d. h. zentrumnächsten Punkt der Bahn. Dies folgt sofort aus obiger Bahngleichung, da $\varphi$ den Winkel zwischen Orts- und Runge-Lenz-Vektor darstellt und $r$ minimal ist für maximalen Nenner, d. h. $\cos \varphi =1\Rightarrow \varphi =0$.
• Der Runge-Lenz-Vektor hat als Betrag das $m\alpha$-fache der numerischen Exzentrizität der Bahnkurve. Dies wurde bereits bei der Herleitung derselben gezeigt.

Periheldrehung bei Abweichungen vom Kepler-Potential

Die Erhaltung des Runge-Lenz-Vektors impliziert, dass die Ellipsen der Planetenbewegung im Kepler-Potential eine feststehende Orientierung im Raum haben.

Bei kleinen Abweichungen vom 1/r-Potential, z. B. durch Anwesenheit anderer Planeten im Sonnensystem oder infolge der Einsteinschen Relativitätstheorien, kommt es zu einer langsamen Drehung der Bahnachse (Periheldrehung). Wenn eine Abweichung so klein ist, dass ihr Quadrat vernachlässigt werden kann, so ist die Störung der Kepler-Bahn mit Hilfe des Runge-Lenz-Vektors elementar berechenbar. Es sei $V(r)$ das Störpotential, das zum Kepler-Potential addiert wird. Für den Runge-Lenz-Vektor findet man (vgl. Beweis der Erhaltung)

${\frac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}=-V'(r){\vec {e}}_{r}\times mr^{2}{\vec {\omega }}=mr^{2}V'(r)~{\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{r}~{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}.$

Die z-Richtung steht dabei senkrecht zur Bahnebene. Offenbar ist die Bewegung des Runge-Lenz-Vektors nicht zu jedem Zeitpunkt eine Drehung. Eine Drehung ergibt sich aber, wenn infinitesimale Änderungen über einen Umlauf integriert werden. Dafür findet man zunächst

$\left(\Delta {\vec {A}}\right)_{\mathrm {1\,Umlauf} }=\int _{0}^{T}\mathrm {d} {\vec {A}}=m{\vec {e}}_{z}\times \int _{0}^{2\pi }r^{2}V'(r)~{\vec {e}}_{r}~\mathrm {d} \varphi \qquad \qquad r=r(\varphi ).$

Da quadratische Effekte von $V$ vernachlässigbar sein sollen, kann für $r(\varphi )$ die ungestörte Bahnkurve eingesetzt werden. Der radiale Einheitsvektor, zerlegt in Komponenten parallel und senkrecht zur Bahnachse, ist

${\vec {e}}_{r}(\varphi )={\vec {e}}_{A}\,\cos \varphi +{\vec {e}}_{\perp }\,\sin \varphi .$

Bei der Kepler-Ellipse ist $r(\varphi )$ eine Funktion von $\cos \varphi$, daher ergibt das Integral über eine Periode mit dem Faktor $\sin \varphi$ für jedes Störpotential $V(r)$ null. Es bleibt nur

$\left(\Delta {\vec {A}}\right)_{\mathrm {1\,Umlauf} }={\vec {e}}_{z}\Delta \varphi \times {\vec {A}},$

wobei ${\vec {A}}=m\alpha \varepsilon {\vec {e}}_{A}$ eingesetzt wurde und der Drehwinkel $\Delta \varphi$ durch folgenden Ausdruck gegeben ist:

$\Delta \varphi ={\frac {1}{\alpha \varepsilon }}\int _{0}^{2\pi }r(\varphi )^{2}V'(r(\varphi ))\cos \varphi ~\mathrm {d} \varphi$

Bei der Störung einer Planetenbahn durch die Anwesenheit anderer Planeten ist das Störpotential nicht unmittelbar von der Form $V(r)$, erhält aber diese Form durch Mittelung über viele Umläufe von Planeten in einer gemeinsamen Bahnebene.