Systematischer Code

Ein systematischer Code ist ein Code, der jedem Nachrichtenwort der Länge k ein Codewort der Länge n zuordnet, wobei das Nachrichtenwort explizit Teil des zugeordneten Codewortes ist.

Als Beispiel gelten Paritätsprüfungen, bei denen dem Nachrichtenwort ein oder mehrere Prüfbits angehängt werden.

Definition

Ein systematischer Code ist ein (n,k)-Linearcode der Art, dass die ersten k Stellen der Codewörter aus den ursprünglichen Nachrichtenstellen bestehen und die weiteren m = n - k Stellen als Kontrollstellen aufgefasst werden.

Beispiel

Ein systematischer [n,k]-Code kann zum Beispiel so aussehen: $C=\{(000),(011),(101),(110)\}$. Dieser Code ließe sich durch folgende Funktion beschreiben: $f:\{0,1\}^{2}\to \{0,1\}^{3}$. Und im Einzelnen hätten wir:

$\,(00)\mapsto (000)$, $\,(01)\mapsto (011)$, $\,(10)\mapsto (101)$, $\,(11)\mapsto (110)$.

Nun haben wir einen in k Stellen systematischen Code der Länge n mit dem Minimalabstand d (Hamming-Abstand) und können auch schreiben: $[3,2,2]-Code$.