Stellenwertsystem

Stellenwertsysteme (auch Positionssysteme genannt) sind eine Möglichkeit, um mit wenigen Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt) möglichst kompakt möglichst große Zahlen darstellen zu können. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der p-adischen Darstellung von Zahlen (nicht zu verwechseln mit p-adischen Zahlen), wobei die Variable p für die Anzahl der Symbole steht. Der Wert von p wird in diesem Zusammenhang auch oft als Basis oder Grundzahl bezeichnet.

Im folgenden soll diese Art der Darstellung von Zahlen erklärt werden. Dabei ist streng zu unterscheiden, ob es sich um Ziffern (also Symbole) oder um Zahlen handelt. Um Verwechslungen zu vermeiden, sind im folgenden Ziffern im Unterschied zu Zahlen immer fett gedruckt.

Ziffern

Die p-adische Darstellung einer Zahl verwendet wie gesagt genau p Ziffern (wobei p hier für eine beliebige natürliche Zahl größer als 1 steht). Jeder dieser p Ziffern wird bijektiv eine der Zahlen von 0 bis p-1 zugeordnet. Bijektiv bedeutet hierbei, dass jeder Ziffer eindeutig genau eine Zahl aus 0 bis p-1 zugeordnet wird und jede Zahl aus 0 bis p-1 wird genau einer Ziffer zugeordnet.

Beispielsweise ist im Dezimalsystem p=10 und man verwendet gewöhnlich die 10 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 und ordnet diesen (in dieser Reihenfolge) die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zu. Für p<10 verwendet man gewöhnlich die ersten p Ziffern wie im Dezimalsystem also Beispielsweise im Binärsystem mit p=2 die Ziffern 0 und 1 und ordnet diesen die 0 und die 1 zu. Für p>10 verwendet man gewöhnlich ebenfalls die Ziffern des Dezimalsystems und als neue zusätzliche Ziffern die ersten Buchstaben des Alphabets. Beispielsweise werden im Hexadezimalsystem mit p=16 zusätzlich die Ziffern A, B, C, D, E und F gebraucht und diesen (wieder in dieser Reihenfolge) die Zahlen 10, 11, 12, 13, 14 und 15 zugeordnet. Die Zuordnung der Zahlen zu den Ziffern bezeichnen wir im folgenden mit f, d.h. im Hexadezimalsystem wäre zum Beispiel f(7)=7 und f(D)=13. Ein weiteres historisch viel verwendetes Zahlensystem ist das Duodezimalsystem.

Darstellung natürlicher Zahlen

Natürliche Zahlen werden in der p-adischen Darstellung durch eine beliebige Folge

$a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$

von Ziffern dargestellt. Jedes a_i steht hier also für eine Ziffer. Üblicherweise notiert man die Folge aber nicht wie eben gezeigt von links nach rechts und durch Komma getrennt, sondern von rechts nach links und ohne Komma, also:

$a_{n}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$

Der Folge wird nun die Zahl

$\sum _{i=1}^{n}f(a_{i})\cdot p^{i}=f(a_{0})+f(a_{1})\cdot p+f(a_{2})\cdot p^{2}+...+f(a_{n})\cdot p^{n}$

zugeordnet.

Man kann zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl x eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Wert x ist. Im allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen, man braucht dazu nur beliebig oft die Ziffer 0 mit f(0)=0 an die Folge anhängen (d.h. in der üblichen Schreibweise voranstellen). Verbietet man Folgen, die mit der Ziffer 0 enden (in der üblichen Schreibweise also solche mit führender 0), so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, d.h. zu jeder natürlichen Zahl x existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert x ist. Ausgenommen von diesem Verbot ist natürlich die Folge 0, also die Folge, die aus nur einer Ziffer besteht, deren Wert 0 ist. Man benötigt diese Folge, um auch die Zahl 0 darstellen zu können.

Als Beispiel betrachten wir die Folge 4B3 im Hexadezimalsystem (p=16). a₀ ist hier 3, a₁ ist hier B und a₁ ist 4. Ferner ist f(3)=3, f(B)=12 und f(4)=4. Also repräsentiert die Folge 4B3 die Zahl

$f(a_{0})+f(a_{1})\cdot p+f(a_{2})\cdot p^{2}=3+11\cdot 16+4\cdot 16^{2}=3+176+1024=1203.$

Entsprechend repräsentiert im Binärsystem (p=2) 1010011 die Zahl

$1+1\cdot 2+0\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{6}=1+2+16+64=83$

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Im Dezimalsystem (p=10) steht 3072 offensichtlich für:

$2+7\cdot 10+0\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{3}=3072$

.

Darstellung ganzer Zahlen

Ganze Zahlen stellt man wie natürliche Zahlen dar, mit dem Unterschied, dass man negativen Zahlen das Minuszeichen als Symbol voranstellt.

Darstellung rationaler Zahlen

Auch Rationale Zahlen lassen sich p-adisch darstellen. Wie im Dezimalsystem trennt man hierbei mit Komma ab und multipliziert die Werte der Ziffern hinter dem Komma mit p^-i, wobei i die Position hinter dem Komma angibt. Es kann dabei vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche, aber periodische Folge von Nachkommastellen benötigt wird. Gewöhnlich wird diese Periode dann durch eine über die periodischen Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so eine endliche Darstellung möglich.

Darstellung irrationaler bzw. reeller Zahlen

Die endliche Darstellung von irrationalen Zahlen wie π oder ${\sqrt {2}}$ ist mit dieser Methode nicht möglich. Damit können also im Allgemeinen relle Zahlen nicht endlich dargestellt werden. Die endliche Darstellung ist aber, wie hier geschehen, symbolisch durch zusätzliche Zeichen für einige sonst nicht darstellbare irrationale Zahlen möglich.

Dennoch lässt sich zeigen, dass mit keinem endlichen Zeichenvorrat die endliche Darstellung aller reellen Zahlen möglich ist. Dies liegt daran, dass die Menge der rellen Zahlen überabzählbar, die Menge aller Darstellungen mit endlichen Zeichenvorrat aber nur abzählbar ist.

Umrechnung zwischen verschiedenen Stellenwertsystemen

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Speziallfälle bei der Umrechnung zwischen verschiedenen Stellenwertsystemen

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Links

siehe auch: Zahlensystem, Additionssystem, römische Zahlen