Randbedingung

Randbedingungen sind konkrete Angaben zum Errechnen der Lösung einer Differentialgleichung, wobei alle benötigten Angaben für (meist zwei) verschiedene Werte der unabhängigen Variablen (dem Randwert) gegeben sind.

Randwertaufgaben haben nicht immer eine eindeutige oder überhaupt existente Lösung (siehe Beispiel). Die numerische Berechnung von Randwertaufgaben mit Mitteln der numerischen Mathematik ist wesentlich aufwendiger und läuft meist auf die Lösung sehr großer Gleichungssysteme hinaus.

Beispiel

Sei die gegebene Differentialgleichung $y''(x)=-y(x)$. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist $a\sin(x)+b\cos(x)$.

• Gesucht ist die Lösung mit $y(0)=1$ und $y(\pi /2)=0$. $\Rightarrow$ Die Lösung ist $y=\cos(x)$.

• Gesucht ist die Lösung mit $y(0)=0$ und $y(\pi )=0$. $\Rightarrow$ Es gibt unendlich viel Lösungen der Form $a\sin(x)$ mit beliebigem $a$.

• Gesucht ist die Lösung mit $y(0)=0$ und $y(2\pi )=1$. $\Rightarrow$Es gibt keine Lösung.

Arten von Randbedingungen

Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, auf dem Rand des betrachteten Gebietes Werte vorzuschreiben. Eine Möglichkeit ist es, Werte der Lösung vorzuschreiben, dann spricht man von Dirichlet-Randbedingungen. Auf der anderen Seite kann man Bedingungen an die Ableitungen stellen, dann spricht man von Neumann-Randbedingungen.

Künstliche Randbedingungen

Bei unbeschränkten Gebieten erfordert die numerische Lösung üblicherweise eine Einschränkung des Gebiets. Hier sind dann Randbedingungen vorzugeben, die im eigentlichen Problem nicht vorhanden, also künstlich sind. Im Regelfall kann allerdings nicht erreicht werden, dass die Lösung auf dem beschränkten Gebiet mit Randbedingungen identisch mit der Lösung auf dem unbeschränkten Gebiet ist.

Siehe auch: Anfangsbedingung