Kollabierender Zirkel

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Der kollabierende Zirkel oder euklidische Zirkel^[1] ist eine mathematische Überlegung, die einen Zirkel beschreibt, der beim Hochheben vom Blatt zuschnappt.

Euklid verwendet in seiner Geometrie kollabierende Zirkel. In Proposition 2 von Buch I der Elemente beweist er, wie man mit einem solchen Zirkel und einem Lineal aber dennoch eine beliebige Strecke übertragen kann^[2], also die Äquivalenz der Konstruktion mit Lineal und kollabierenden und nicht kollabierenden Zirkeln.

Problemstellung und Begriffsklärung

Bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal wird meist ein nicht-kollabierender Zirkel verwendet. In den ursprünglichen Konstruktionsproblemen (Euklid) wurde jedoch von einem kollabierenden Zirkel ausgegangen, dessen Radius beim "Hochheben" vom Blatt kollabiert, sprich, nicht festgehalten werden kann, um den Radius in einem weiteren Kreis zu benutzen.

Zu beachten ist, dass ein kollabierender Zirkel nicht wirklich ein Zirkel sondern vielmehr eine mathematische Überlegung ist. Laut Euklid existiert zu zwei Punkten A und B immer eine (mit einem Lineal konstruierbare) Gerade, die durch beide Punkte verläuft, so wie zwei Kreise, einer um A und einer um B, mit dem Radius der Strecke von A bis B.

Damit erhält man also beinahe alle möglichen Konstruktionen, die man mit einem Zirkel und einem Lineal machen kann, bis auf das Abgreifen einer Strecke AB mit einem Zirkel und das Ziehen eines Kreises mit diesem Radius um einen dritten Punkt C.

Man kann sich also einen kollabierenden Zirkel als einen Zirkel vorstellen, den man mit der Nadel auf einem Punkt aufsetzen, dann mit der Stiftspitze auf einen anderen Punkt setzen und einen Kreis ziehen lassen kann, jedoch nach dem Zeichnen des Kreises der gefundene Radius zusammenbricht, der Zirkel also zusammenschnappt, sodass man ihn nicht auf diesen Radius eingestellt auf einen anderen Punkt setzen und einen Kreis gleichen Radiusses ziehen kann, es sei denn es existiert bereits ein Punkt, der vom neuen Punkt bereits diesen Radius hat.

Tatsächlich resultiert daraus jedoch, dass durch weitere Schritte mit einem kollabierenden Zirkel und einem Lineal auch solche Kreise konstruiert werden können, die mit dem Radius als Abstand zweier Punkte um einen dritten Punkt gezogen werden können. Beweis siehe unten.

Mathematische Erläuterung für Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Sei $\mathrm {\mathrm {M} }$ eine Menge von Punkten im $\mathbb {R} ^{2}$ , $\mathrm {G(\mathrm {M} )}$ die Menge aller Geraden im $\mathbb {R} ^{2}$ , die durch mindestens 2 Punkte aus $\mathrm {\mathrm {M} }$ verlaufen, $\mathrm {K(\mathrm {M} )}$ die Menge aller Kreise deren Mittelpunkte die Punkte aus $\mathrm {\mathrm {M} }$ und deren Radien gleich den Abständen zweier Punkte aus $\mathrm {\mathrm {M} }$ sind.

Dann ist ${\hat {M}}$ die Menge aller Punkte, die aus $\mathrm {\mathrm {M} }$ durch Konstruktionen mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können mithilfe folgender Operationen:

Schnitt zweier verschiedener Geraden aus $\mathrm {G} (\mathrm {M} )$
Schnitt einer Geraden aus $\mathrm {G} (\mathrm {M} )$ mit einem Kreis aus $\mathrm {K} (\mathrm {M} )$
Schnitt zweier verschiedener Kreise aus $\mathrm {K} (\mathrm {M} )$

Für ${\hat {M}}$ macht es keinen Unterschied, ob mit einem kollabierenden oder einem nicht-kollabierenden Zirkel gearbeitet wird, denn alle Punkte aus ${\hat {M}}$ , die mithilfe eines nicht-kollabierenden Zirkels konstruiert werden können, können auch mit einem kollabierenden Zirkel konstruiert werden. Beweis siehe Konstruktion unten!

Allerdings:

Sei nun $M^{\prime }$ die Menge aller Punkte, die aus M durch Konstruktionen mit einem kollabierenden Zirkel und Lineal und ${\tilde {M}}$ die Menge aller Punkte, die aus M durch Konstruktionen mit einem nicht-kollabierenden Zirkel und Lineal in nur einem Schritt konstruiert werden können.

Dann gilt: ${\tilde {M}}\not =M'$ , denn schon für eine dreielementige Menge $\mathrm {M}$ von Punkten A, B, C ist der Schnittpunkt einer Geraden durch A und B mit einem Kreis mit Radius $\mid {\overline {AB}}\mid$ um C zwar in ${\tilde {M}}$ , jedoch nicht in $M^{\prime }$ . Die Konstruktion dieses Kreises um C erfordert mit einem kollabierenden Zirkel einige Schritte mehr (siehe unten).

Konstruktion eines Kreises um einen Punkt mit Abstand zweier anderer Punkte als Radius (mit einem kollabierenden Zirkel)[Beweis]

Um zu zeigen, dass mit einem kollabierenden Zirkel und einem Lineal dieselben Punkte konstruierbar sind wie mit einem nicht-kollabierenden Zirkel und einem Lineal, genügt es zu zeigen, dass mit kollabierendem Zirkel und Lineal die Konstruktion eines Kreises um einen Punkt mit Abstand zweier anderer Punkte als Radius möglich ist. Schnitte aus einem solchen Kreis mit einer Geraden oder mit einem anderen (evtl. ebensolchen) Kreis sind dann ohne Weiteres möglich, da ja schon beide Kreise (bzw. der Kreis und die Gerade) konstruiert werden können, also dementsprechend auch deren Schnitte.

Beweis

Gegeben seien 3 Punkte A, B, C. In der Zeichnung sind die Geraden $a$ durch A und B und $b$ durch A und C bereits eingezeichnet. Die Gerade durch B und C wird nicht benötigt.

Ziel ist es, einen Kreis um C zu konstruieren, der als Radius die Streckenlänge $\mid {\overline {AB}}\mid$ hat, um damit einen Schnittpunkt mit der Geraden $b$ zu konstruieren. Dafür müssen zwei Parallelen gebildet werdet, je eine zu jeder der bereits im oberen Bild vorhandenen Geraden. Die erste Parallele $d$ (zu $a$ ) soll dabei durch Punkt C gehen und die zweite Parallele $e$ (zu $b$ ) soll durch Punkt B gehen.

Zur Konstruktion der ersten dieser Parallelen:

Um den Punkt C wird ein Kreis mit Radius $\mid {\overline {AC}}\mid$ gezogen. Dieser schneidet die Gerade $a$ in A und einem weiteren Punkt D.

(Wenn

a

senkrecht auf

b

steht ist natürlich

A=D

. In diesem Fall kann der nächste Schritt ausgelassen und direkt A als der in dem Schritt zu bestimmende Punkt E verwendet werden.)

Nun werden um A und um D jeweils ein Kreis mit Radius $\mid {\overline {AD}}\mid$ gezogen und die Schnittpunkte dieser beiden Kreise verbunden zur Geraden $c$ . Die Gerade $c$ ist ein Lot von C auf $a$ , d.h. eine zu $a$ senkrechte Gerade durch C.

Den Lotfußpunkt, d.h. der Schnittpunkt von

c

mit

a

, wird als E bezeichnet.

Nun wird der Punkt F auf dieser Senkrechten

c

im gleichen Abstand wie E von C bestimmt, indem um C ein Kreis mit Radius

\mid {\overline {CE}}\mid

gezogen wird.

Mithilfe von E und F können nun zwei Kreise mit Radius

\mid {\overline {EF}}\mid

konstruiert werden, die sich in zwei Punkten (hier G und H) schneiden. Diese beiden Punkte definieren eine Senkrechte zur Senkrechten (

c

) zu

a

(sprich eine Parallele zu

a

), die durch Punkt C verläuft. Diese Parallele wird

d

genannt. Somit ist die erste Parallele konstruiert.

Auf die gleiche Art und Weise kann die Parallele

e

zu

b

konstruiert werden. Man erhält damit ein Parallelogramm und den Schnittpunkt K der beiden Parallelen

d

und

e

(alle Zwischenschritte zur 2. Parallele wurden ausgeblendet):

Die Strecke

{\overline {CK}}

ist offensichtlich also so lang wie

{\overline {AB}}

. Nun muss nur noch ein Kreis mit Radius

\mid {\overline {CK}}\mid

um C konstruiert werden. Dieser schneidet

b

. Schnittpunkt L ist der gesuchter Punkt.

Anmerkung

Der Beweis setzt voraus, dass C nicht auf $a$ liegt. In einem solchen Fall kann mit der beschriebenen Methode ein Kreis mit dem Radius $\mid {\overline {AB}}\mid$ um einen beliebigen Punkt P gezeichnet werden, der nicht auf $a$ liegt (d.h. P wird statt C in obiger Konstruktion verwendet). Während der Konstruktion entsteht dann auch eine Gerade $p$ (analog zu $d$ in obiger Konstruktion), die durch P geht und zu $a$ parallel ist. Der konstruierte Kreis schneidet $p$ in zwei Punkten Q und R (analog zu K in obiger Konstruktion), wobei offenbar gilt, dass $\mid {\overline {PQ}}\mid =\mid {\overline {PR}}\mid =\mid {\overline {AB}}\mid$ .

Damit kann die Konstruktion ein zweites Mal durchgeführt werden, wobei die Länge einer dieser beiden Strecken als Radius für den Kreis um C verwendet wird (d.h. nun werden P und Q als A und B in obiger Konstruktion angewandt). Da $a$ und $p$ parallel sind und da C auf $a$ liegt, P aber nicht, liegt auch C nicht auf $p$ , also gelingt die Konstruktion jetzt. Außerdem kann dadurch die Konstruktion einer Parallelen zu $p$ in der anschließenden Konstruktion offenbar übersprungen werden.

Quellen

C. Bessenrodt: Algebra I, Wintersemester 2003/2004 - Punkt 1.1 - Vorlesungsskript

Einzelnachweise

↑ Heinz Lüneburg: Von Zahlen und Größen. Band 2. Birkheuser, ISBN 978-3-7643-8778-5, Seite 336.
↑ Zum Beispiel Hartshorne Euclid and Beyond, Springer Verlag 1997, S.19

[1] Heinz Lüneburg: Von Zahlen und Größen. Band 2. Birkheuser, ISBN 978-3-7643-8778-5, Seite 336.

[2] Zum Beispiel Hartshorne Euclid and Beyond, Springer Verlag 1997, S.19

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