Rendergleichung

Die Rendergleichung wird in der 3D-Computergrafik verwendet. Es handelt sich um eine Integralgleichung, die die Energieerhaltung bei der Ausbreitung von Lichtstrahlen ausdrückt und somit die mathematische Basis für Techniken der globalen Beleuchtung bildet. Sie wurde 1986 von James Kajiya als SIGGRAPH-Publikation veröffentlicht.

Formel

Die Rendergleichung liefert einen Ausdruck für die ausgehende Strahldichte (d. h., für die „Helligkeit“ eines Lichtstrahls) an einer Oberfläche der Szene. Sie besagt, dass die ausgehende Strahldichte $L_{o}$ an einem Punkt $\mathbf {x}$ in der Richtung ${\vec {\omega }}$ die Summe der emittierten Strahldichte $L_{e}$ und der reflektierten Strahldichte $L_{r}$ ist:

$L_{o}(\mathbf {x} ,\,{\vec {\omega }})=L_{e}(\mathbf {x} ,\,{\vec {\omega }})+L_{r}(\mathbf {x} ,\,{\vec {\omega }})$.

Die reflektierte Strahldichte lässt sich durch ein Integral über die Hemisphäre ausdrücken, wodurch die Rendergleichung wie folgt lautet:

$L_{o}(\mathbf {x} ,\,{\vec {\omega }})=L_{e}(\mathbf {x} ,\,{\vec {\omega }})+\int _{\Omega }{f_{r}(\mathbf {x} ,\,{\vec {\omega }}^{\prime },\,{\vec {\omega }})\,L_{i}(\mathbf {x} ,\,{\vec {\omega }}^{\prime })\,({\vec {\omega }}^{\prime }\cdot {\vec {n}})\,d{\vec {\omega }}^{\prime }}$.

$f_{r}$ bezeichnet die BRDF,
$L_{i}(\mathbf {x} ,\,{\vec {\omega }}^{\prime })$ die aus der Richtung ${\vec {\omega }}^{\prime }$ nach ${\vec {\omega }}$ reflektierte Strahldichte,
${\vec {n}}$ bezeichnet die Normale der Oberfläche am Punkt $\mathbf {x}$.

Die Rendergleichung lässt sich außerdem für bestimmte Situationen umschreiben.

Anwendungen

Alle Algorithmen zur Ermittlung der globalen Beleuchtung versuchen im Grunde, das Integral der Gleichung zu berechnen.

Die Werte innerhalb des Integrals lassen sich z. B. durch Raytracing, also durch das Aussenden eines Lichtstrahls in Richtung ${\vec {\omega }}^{\prime }$, berechnen. Die Annäherung des Integrals durch eine Monte-Carlo-Simulation und das rekursive Aussenden von Lichtstrahlen führt zum Path Tracing.

Der Radiosity-Algorithmus lässt sich ebenfalls mit der Rendergleichung begründen, siehe diesen Artikel für die modifizierte Formel.

Weblinks

• Die SIGGRAPH ’86-Veröffentlichung von Kajiya (kostenpflichtig)