Bernoulli-Zahl

Die Bernoulli-Zahlen B_n sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: als Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel, und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen ζ-Funktion.

Achtung: In der Literatur werden die Bernoulli-Zahlen in zwei verschiedenen Weisen definiert. Zur Unterscheidung schreiben wir B_n für die in Kontinentaleuropa üblichere Variante (die zum Beispiel im Handbuch von Bronstein-Semendjajew und in den Integraltabellen von Gradshteyn-Ryzhik verwendet wird) und β_n für die abweichende Variante (die Eric Weisstein als die modernere propagiert).

Die Bernoulli-Zahlen werden am einfachsten als Taylor-Koeffizienten der erzeugenden Funktion x/(e^x − 1) eingeführt: die Reihenentwicklung

${\frac {x}{e^{x}-1}}=1-{x \over 2}+B_{1}{x^{2} \over 2!}-B_{2}{x^{4} \over 4!}\pm \ldots +{(-1)}^{n+1}B_{n}{x^{2n} \over (2n)!}\pm \ldots$

beziehungsweise

${\frac {x}{e^{x}-1}}=1+\beta _{1}{x \over 2}+\beta _{2}{x^{2} \over 2!}+\ldots +\beta _{n}{x^{n} \over (n)!}+\ldots$

konvergiert für alle x mit einem Betrag kleiner als 2π.

Die ersten Bernoulli-Zahlen lauten B₁, B₂, B₃, ... = 1/6, 1/30, 1/42, 1/30, 5/66, 691/2730, 7/6, 3617/510, 43867/798, 174611/330, 854513/138, ...

In der alternativen Definition ist β₁=-1/2, alle weiteren β mit ungeradem Koeffizienten verschwinden: β_2n+1=0. Die β mit geraden Koeffizienten ergeben sich aus den B_n gemäß B_n=(-1)ⁿ⁺¹β_2n als β₂, β₄, β₆, ... = 1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66, ...

Weblink

• Die ersten 498 Bernoulli-Zahlen als Projekt Gutenberg-e-Text.