Banachscher Abbildungssatz

Der Banachsche Abbildungssatz ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Mengenlehre . Es geht zurück auf den polnischen Mathematiker Stefan Banach. Der Satz behandelt eine grundlegende Eigenschaft von Abbildungen. Er ist eng verknüpft mit dem Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt :

Gegeben seien Mengen   $M$  und  $N$  und dazu Abbildungen

  ${\phi }\colon \,M\to N$   und   ${\psi }\colon \,N\to M$   .

Dabei sei   ${\phi }$   injektiv.

Dann existieren Mengen   $M_{1},M_{2},N_{1},N_{2}$   mit

 $M=M_{1}{\cup }M_{2}$  und  $M_{1}{\cap }M_{2}=\emptyset$ 

sowie

 $N=N_{1}{\cup }N_{2}$  und  $N_{1}{\cap }N_{2}=\emptyset$ 

derart, dass gilt:

 ${\phi }(M_{1})=N_{1}$  und  ${\psi }(N_{2})=M_{2}$ 

Folgerung

Aus dem Banachschen Abbildungssatz folgt unmittelbar das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem .

Literatur

• Heinz Lüneburg: Kombinatorik. Birkhäuser Verlag, Basel [u.a.] 1971, ISBN 3-7643-0548-7. 

Einzelnachweise

<references>