Benutzer:Schojoha/Spielwiese

Vollständigkeit des Körpers der reellen Zahlen

Zum Vollständigkeitsaxiom und zum Supremumsaxiom gleichwertige Axiome

Anstelle von Vollständigkeitsaxiom bzw. Supremumsaxiom kann man auch verschiedene andere Axiome setzen :

• das Intervallschachtelungsaxiom:

  Der Durchschnitt jeder monoton fallenden Folge abgeschlossener beschränkter Intervalle von $\mathbb {R}$ ist nichtleer.

• das Infimumsaxiom:

  Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von $\mathbb {R}$ besitzt ein Infimum.

• das Bolzano-Weierstraß-Axiom:

  Jede unendliche, beschränkte Teilmenge von $\mathbb {R}$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

• das Monotonieaxiom:

  Jede monotone, beschränkte Folge in $\mathbb {R}$ konvergiert.

• das Zwischenwertaxiom:

  Eine auf einem Intervall von $\mathbb {R}$ definierte stetige Funktion nimmt in ihrem Wertebereich stets jeden Zwischenwert an.

• das Beschränktheitsaxiom:

  Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von $\mathbb {R}$ definierte stetige Funktion hat stets einen beschränkten Wertebereich.

• das Maximumsaxiom:

  Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von $\mathbb {R}$ definierte stetige Funktion hat stets eine Maximumsstelle.

Durch die so gewonnenen äquivalenten Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen jeweils (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt.

Der Satz von Kurepa (in Arbeit)

Der Satz von Kurepa ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Teilgebiet der Mengenlehre. Er geht zurück auf den kroatischen Mathematiker G. Kurepa .

Der Satz beinhaltet eine logisch äquivalente Formulierung des Auswahlaxioms in der Sprache der Ordnungstheorie.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Kurepa lässt sich formulieren wie folgt :

Das Auswahlaxiom ist logisch äquivalent mit der Bedingung, dass jedes der beiden folgenden Prinzipien ( ${V}$  ) und  $({\overline {K}})$   Gültigkeit hat:

 $(V)$    : Auf jeder Menge   $X$   existiert eine lineare Ordnung   $\leq$   .

 $({\overline {K}})$   : Jede Antikette einer teilweise geordneten Menge   $(X,\leq )$   ist in einer bzgl.   $\subseteq$   maximalen Antikette enthalten.

In formelhafter Kurzdarstellung lässt sich der Satz auch so angeben:

Auswahlaxiom   $\iff$    $({V})\land ({\overline {K}})$  

Literatur

Originalarbeiten

• G. Kurepa: Über das Auswahlaxiom. In: Math. Ann. 126. Jahrgang, 1953, S. 381–384.  MR

Monographien

• Egbert Harzheim: Ordered Sets. Springer Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8. 

Das Auswahllemma von Rado (in Arbeit)

Das Auswahllemma von Rado (englisch Rado's Selection Lemma ) oder auch Auswahlprinzip von Rado (englisch Rado's Selection Principle ) ist ein mathematisches Resultat, welches der diskreten Mathematik bzw. Kombinatorik zugerechnet wird. Es wurde hat im Jahre 1949 von dem deutsche Mathematiker Richard Rado veröffentlicht . Mit Hilfe dieses Auswahlprinzips lassen sich fundamentale Ergebnissen der transfiniten diskreten Mathematik herleiten wie etwa die transfiniten Versionen des Satzes von Dilworth und des Heiratssatzes von Hall. Ein verwandtes Ergenis ist der Satz von Erdös-de Bruijn. Zum Beweis des Auswahllemmas muss das Auswahlaxiom oder eines der zum Auswahlaxiom äquivalenten Maximalitätsprinzipien vorausgesetzt werden. W. H. Gottschalk zeigte in 1951, dass das Radosche Auswahlprinzips sich sehr leicht auf den Satz von Tychonoff zurückführen lässt.

Formulierung des Auswahllemmas

Im Folgenden bedeutet für zwei Mengen $X$ und $Y$ die Notation $X{\subset \subset }Y$, dass $X$ eine endliche Teilmenge von $Y$ ist.

Damit gilt:

Gegeben seien nicht-leere Mengen $A$ und $I$ und $A_{i}{\subset \subset }A$ für jedes $i\in I$. Zu der Mengenfamilie $(A_{i})_{i\in I}$ sei weiter zu jedem $L{\subset \subset }I$ eine Auswahlfunktion ${f_{L}}\colon \,L\to A$ gegeben mit ${f_{L}}(i)\in {A_{i}}$ für jedes $i\in L$.

Dann existiert eine Auswahlfunktion $F\colon \,I\to A$, welche alle ${f_{L}}$ fortsetzt in dem Sinne, dass zu jedem $L{\subset \subset }I$ eine Menge $M$ zu finden ist mit $L\subseteq M{\subset \subset }I$ und ${f_{M}}|_{L}=F|_{L}$ .

Folgerungen aus dem Auswahllemma

Mit dem Auswahllemma lassen sich die folgenden Sätze herleiten:

Literatur

Artikel und Originalarbeiten

• W. H. Gottschalk: Choice functions and Tychonoff's theorem. In: Proc. Amer. Math. Soc. 2. Jahrgang, 1951, S. 172. 

• R. Rado: A Selection Lemma. In: J. Comb. Theory. 10. Jahrgang, 1971, S. 176–177. 

• R. Rado: Axiomatic treatment of rank in infinite sets. In: Canad. J. Math. 1. Jahrgang, 1949, S. 337–343. 

Monographien

• Martin Aigner: Combinatorial Theory. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 1979, ISBN 3-540-90376-3. 

• Egbert Harzheim: Ordered Sets. Springer-Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8. 

• Heinz Lüneburg: Kombinatorik. Birkhäuser Verlag, Basel [u.a.] 1971, ISBN 3-7643-0548-7. 

• Heinz Lüneburg: Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim [u. a.] 1989, ISBN 3-411-03194-8. 

• Leonid Mirsky: Transversal Theory. Academic Press, New York, London 1971, ISBN 0-12-498550-5. 

Teilgebiete der Topologie (in Arbeit)

Liste

• Allgemeine Topologie oder Mengentheoretische Topologie

.....

• Algebraische Topologie

.....

• Differentialtopologie

.....

• Dimensionstheorie

.....

• Geometrische Topologie

.....

• Homotopietheorie

.....

• Katastrophentheorie

.....

• Knotentheorie

.....

• Kombinatorische Topologie

.....

• Ordnungstopologie

.....

• Topologische Gruppentheorie

.....

• Topologische Graphentheorie

.....

• Topologische Kombinatorik

.....

Bemerkungen

• Die Liste ist unvollständig.
• Die Abgrenzung unterliegt einer gewissen Willkür.
• Die Grenzen zwischen den Teilgebieten sind fließend.

.....

Axiomensysteme der Allgemeinen Topologie (in Arbeit)

Die Allgemeine Topologie behandelt die topologischen Räume auf Grundlage eines Axiomensystems im Kontext der Mengenlehre. Man nennt sie daher auch Mengentheoretische Topologie. Wie sich gezeigt hat, gibt es in diesem Rahmen eine Anzahl von gleichwertigen Möglichkeiten, die Struktur der topologischen Räume axiomatisch festzulegen. Stets wird dabei eine Grundmenge   $X$   vorausgesetzt, deren Elemente oft Punkte genannt werden. Die Menge   $X$   wird dann auch als Punktmenge bezeichnet. Die axiomatische Festlegung der topologischen Struktur erfolgt entweder dadurch, dass gewisse Teilmengensysteme innerhalb der zugehörigen Potenzmenge   ${\mathcal {P}}=\{W\mid W\subseteq X\}$   ausgezeichnet werden, oder auf dem Weg über die Festlegung gewisser Mengenoperatoren auf   ${\mathcal {P}}$   , wobei jeweils das Erfülltsein einer Anzahl von Bedingungen, Axiome genannt, gefordert wird.

Die im folgenden angegebenen Axiomensystemen sind diejenigen, welche in den bekannten Topologielehrbüchern (s. Literatur) vorwiegend behandelt werden.

Offene Menge, Topologien, Axiome der offenen Mengen

Unter einem topologischen Raum versteht man nach heutiger Auffassung ein Paar   $(X,{\mathcal {O}})$   mit einer Menge   $X$   sowie einem Teilmengensystem   ${\mathcal {O}}\subseteq {\mathcal {P}}$   von offenen Mengen, so dass die folgenden Axiome gelten:

(O1)   $\emptyset \in {\mathcal {O}}$

(O2)   $X\in {\mathcal {O}}$

(O3)   $\forall {\mathcal {W}}\subseteq {\mathcal {O}}:{\bigcup {\mathcal {W}}}\in {\mathcal {O}}$

(O4)   $\forall n\in \mathbb {N} :\forall {W_{1},W_{2},\dotsc ,W_{n}}\in {\mathcal {O}}:{W_{1}\cap W_{2}\cap \dotsb \cap W_{n}}\in {\mathcal {O}}$

Man nennt   ${\mathcal {O}}$  auch das System der   $(X,{\mathcal {O}})$ - offenen Mengen   . Statt von einer   $(X,{\mathcal {O}})$ - offenen Menge spricht man auch nur von einer offenen Menge, wenn vorausgesetzt werden kann , dass aus dem Kontext klar ist, um welchen topologischen Raum   $(X,{\mathcal {O}})$   es sich handelt.

Unter dieser Konvention lässt sich das Axiomensystem (O1) - (O4) dann auch so angeben:

(O1)`   Die leere Menge ist offen.

(O2)`   Die Grundmenge   $X$   ist offen.

(O3)`   Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen.

(O4)`   Beliebige endliche Durchschnitte offener Mengen sind offen.

Der Begriff der offenen Menge gilt heute als Grundbegriff der Axiomatik topologischer Räume. Die meisten modernen Autoren verstehen unter einer Topologie (engl. topology) das System der offenen Mengen eines topologischen Raumes . Es gibt jedoch auch Ausnahmen .

Abgeschlossene Menge, Axiome der abgeschlossenen Mengen, Dualität

Die abgeschlossenen Mengen der Topologie   $(X,{\mathcal {O}})$   entstehen aus den offenen Mengen durch Komplementbildung und umgekehrt.

Das heißt:

(O-A)   $A\subseteq X$ ist   eine   $(X,{\mathcal {O}})$   - abgeschlossene Menge bzw. - gemäß Konvention (s. o.) - eine abgeschlossene Menge dann und nur dann, wenn   $(X\setminus A)$   eine   $(X,{\mathcal {O}})$   - offene Teilmenge bzw. offen ist.

Da nun Komplementbildung involutorisch auf der Potenzmenge   ${\mathcal {P}}$   wirkt, ist das Axiomensystem (O1) - (O4) bzgl. des Systems der offenen Mengen   ${\mathcal {O}}$   in ein äquivalentes Axiomensystem bzgl.   ${\mathcal {A}}=\{X\setminus W\mid W\in {\mathcal {O}}\}$  , des Systems der abgeschlossenen Mengen, übertragbar und umgekehrt.

Man hat damit die folgenden vier Axiome der abgeschlossenen Mengen:

(A1)   $X\in {\mathcal {A}}$

(A2)   $\emptyset \in {\mathcal {A}}$

(A3)   $\forall {\mathcal {A}}_{0}\subseteq {\mathcal {A}}:{\bigcap {{\mathcal {A}}_{0}}}\in {\mathcal {A}}$

(A4)   $\forall n\in \mathbb {N} :\forall {A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}}\in {\mathcal {A}}:{A_{1}\cup A_{2}\cup \dotsb \cup A_{n}}\in {\mathcal {A}}$

In Worten lässt sich das Axiomensystem (A1) - (A4) auch so ausdrücken:

(A1)`   Die Grundmenge   $X$   ist abgeschlossen.

(A2)`   Die leere Menge ist abgeschlossen.

(A3)`   Beliebige Durchschnitte abgeschlosser Mengen sind abgeschlossen.

(A4)`   Beliebige endliche Vereinigungen abgeschlosser Mengen sind abgeschlossen.

Ist also ein System abgeschlossener Mengen, welches das Axiomensystem (A1) - (A4) erfüllt, gegeben, so gewinnt man ein System von offenen Mengen, also die zugehörige Topologie, als Komplemente der abgeschlossenen Mengen:

(A-O)   ${\mathcal {O}}=\{X\setminus A\mid A\in {\mathcal {A}}\}$

Die Axiomensysteme (O1) - (O4) und (A1) - (A4) sind also in einem dualen Sinne gleichwertig. Das heißt: Die beiden Axiomensysteme sind über die Komplementbildung umkehrbar eindeutig aufeinander bezogen und miteinander verknüpft. Man spricht in diesem Zusammenhang daher auch von der Dualität zwischen offenen und abgeschlossenen Mengen .

Abgeschlossene Hülle, Kuratowskischer Hüllenoperator, Axiome von Kuratowski

Der Zugang zur Allgemeinen Topologie auf dem Wege über Hüllenoperatoren geht auf den polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski zurück . Dieser Axiomatik zu Grunde liegt ein Mengenoperator auf   ${\mathcal {P}}$   , welcher dadurch ausgezeichnet ist , dass er für Teilmengen   $V\subseteq X$   und   $W\subseteq X$   den folgenden vier Bedingungen genügt:

(AH1)   $W\subseteq {\overline {W}}$

(AH2)   ${\overline {V\cup W}}={\overline {V}}\cup {\overline {W}}$

(AH3)   ${\overline {\overline {W}}}={\overline {W}}$

(AH4)   ${\overline {\emptyset }}=\emptyset$

Man nennt diese vier Bedingungen Axiome von Kuratowski oder Kuratowskische Hüllenaxiome (engl. Kuratowski closure axioms) und einen diesen Bedingungen genügenden Mengenoperator einen Kuratowskischen Hüllenoperator .

Die Axiome von Kuratowski lassen sich zusammenfassen wie folgt:

(AH)`   Ein Kuratowskischer Hüllenoperator auf   ${\mathcal {P}}$   ist ein Hüllenoperator, welcher die Bedingungen (AH2) und (AH4) erfüllt.

Ist ein Kuratowskischer Hüllenoperator gegeben , so sagt man:

(AH-A)   $W\subseteq X$   ist eine abgeschlossene Menge bzw. abgeschlossen genau dann, wenn ${\overline {W}}=W$ ist.

Das Teilmengensystem der (in diesem Sinne) abgeschlossenen Mengen ist das dem Hüllenoperator   $W\mapsto {\overline {W}}$   zugehörige Hüllensystem und genügt dem obigen Axiomensystem (A1) - (A4), führt folglich wie oben zu einer Topologie   ${\mathcal {O}}$   auf   $X$   . Dabei gilt:

(AH-O)   ${\mathcal {O}}:=\{W\subseteq X\mid W\cap {\overline {X\setminus W}}=\emptyset \}$

(AH-A)`   ${\mathcal {A}}:=\{{\overline {W}}\mid W\subseteq X\}$

Diese Betrachtung lässt sich umkehren:

Ist eine Topologie   ${\mathcal {O}}$   auf   $X$   gegeben und dazu das Teilmengensystem   ${\mathcal {A}}$  , welches dem Axiomensystem (A1) - (A4) genügt, also wie beschrieben das System der abgeschlossenen Mengen des topologischen Raums   $(X,{\mathcal {O}})$   , so liegt damit ein Hüllensystem auf   ${\mathcal {P}}$   vor und den zugehörigen Hüllenoperator gewinnt man zurück durch:

(A-AH)   ${\overline {W}}:=\bigcap \{A\in {\mathcal {A}}\mid A\supseteq W\}$   ( $W\subseteq X$  )

Dieser Hüllenoperator erfüllt dann die Axiome (AH1) - (AH4), ist also ein Kuratowskischer Hüllenoperator.

In dieser Weise ist die Beziehung des Kuratowskischen Hüllenoperators   $W\mapsto {\overline {W}}$   zu   ${\mathcal {A}}$   , dem System der abgeschlossenen Mengen des topologischen Raums   $(X,{\mathcal {O}})$   , und genauso zu der Topologie   ${\mathcal {O}}$   jeweils umkehrbar eindeutig.

Für eine Teilmenge   $W\subseteq X$   heißt   ${\overline {W}}$   die abgeschlossene Hülle, manchmal auch der Abschluss von   $W$   . Ihre Elemente werden Berührungspunkte oder Berührpunkte von   $W$   genannt. Gemäß (A-AH) ist die abgeschlossene Hülle   ${\overline {W}}$   von   $W\subseteq X$   die bzgl. der Inklusionsrelation kleinste abgeschlossene Obermenge von   $W$   innerhalb des topologischen Raums   $(X,{\mathcal {O}})$   .

Inneres, Kernoperator, Axiome des Inneren

Ausgehend von der Dualität zwischen offenen und abgeschlossenen Mengen erhält man in Übertragung von (A-AH) den zum topologischen Raum   $(X,{\mathcal {O}})$   gehörigen Kernoperator   $W\mapsto {W^{\circ }}$   auf   ${\mathcal {P}}$   mittels :

(O-OK)   ${W^{\circ }}=\bigcup \{W_{0}\in {\mathcal {O}}|W_{0}\subseteq W\}$   ( $W\subseteq X$  )

zurück.

Der Kernoperator genügt für   $V$ und $W$   den folgenden vier Axiomen :

(OK1)   ${W^{\circ }}\subseteq W$

(OK2)   ${(V\cap W)}^{\circ }={V^{\circ }}\cap {W^{\circ }}$

(OK3)   ${W^{\circ }}^{\circ }={W^{\circ }}$

(OK4)   ${X^{\circ }}=X$

${W^{\circ }}$   ist wegen (O-OK) die bzgl. der Inklusionsrelation größte offene Teilmenge von   $W$   innerhalb des topologischen Raums   $(X,{\mathcal {O}})$   . Ihre Elemente werden innere Punkte von   $W$   genannt. Zusammengenommen bilden also die inneren Punkte von   $W$   die Menge   ${W^{\circ }}$   , welche auch als das Innere oder der offene Kern von   $W$   bezeichnet wird.

Die Beziehungen zwischen dem Kernoperator und der Topologie   ${\mathcal {O}}$   und   ${\mathcal {A}}$   , dem System der abgeschlossenen Mengen von   $(X,{\mathcal {O}})$ und schließlich dem zugehörigen Kuratowskischen Hüllenoperator sind paarweise umkehrbar eindeutig und dabei gilt:

(OK-O)   ${\mathcal {O}}=\{{W^{\circ }}\mid W\subseteq X\}$

(OK-A)   ${\mathcal {A}}=\{{X\setminus {W^{\circ }}}\mid W\subseteq X\}$

(AH-OK)   $W^{\circ }=X\setminus {\overline {(X\setminus W)}}$   ( $W\subseteq X$  )

(OK-AH)   ${\overline {W}}=X\setminus {(X\setminus W)^{\circ }}$   ( $W\subseteq X$  )

Rand, Randbildungsoperator, Axiome des Randes

Für eine Teilmenge   $W$   des topologischen Raums   $(X,{\mathcal {O}})$   ist der Rand (auch als Grenze oder als Begrenzung bezeichnet; englisch frontier oder auch boundary ) von   $W$   gegeben durch:

(AH-R)   $\partial W={\overline {W}}\cap {\overline {(X\setminus W)}}$

Die Elemente von   $\partial W$   werden Randpunkte von   $W$   genannt. Ein Randpunkt von   $W$   zeichnet sich demnach dadurch aus, dass er sowohl Berührpunkt von   $W$   ist als auch Berührpunkt von   $X\setminus W$   . Andererseits ist ein jeder Berührpunkt von   $W$   entweder Element von   $W$   oder Randpunkt von   $W$   , und damit gilt:

(R-AH)   ${\overline {W}}=W\cup \partial W\,$   (  $W\subseteq X$   )

Für den topologischen Raum   $(X,{\mathcal {O}})$   stellt also das Bilden des Randes einen Mengenoperator auf   ${\mathcal {P}}$   dar. Dieser so zu   $(X,{\mathcal {O}})$   gehörige Randbildungsoperator erfüllt für Teilmengen   $V$   und   $W$   von   $(X,{\mathcal {O}})$   stets die folgenden vier Regeln :

(R1)   $V\cap W\cap \partial (V\cap W)=V\cap W\cap (\partial V\cup \partial W)$

(R2)   $\partial W=\partial (X\setminus W)$

(R3)   $\partial {\partial W}\subseteq \partial W$

(R4)   $\partial {\emptyset }=\emptyset$

Ausgehend vom Begriff des Randes kann nun die gesamte Axiomatik der Allgemeinen Topologie aufgebaut werden, indem man die vier Regeln (R1) - (R4) als Axiome versteht. Damit ist die Struktur des topologischen Raum  $(X,{\mathcal {O}})$   unzweideutig festgelegt. Der mittels der Gleichung (R-AH) definierte Mengenoperator auf   ${\mathcal {P}}$   erweist sich nämlich als Kuratowskischer Hüllenoperator und ist in Verbindung mit (AH-R) umkehrbar eindeutig mit diesem und damit auch mit dem zugehörigen topologischen Raum  $(X,{\mathcal {O}})$   verknüpft.

Dabei ergeben sich bzgl.   $\partial$   folgende Gleichungen:

(R-O)   ${\mathcal {O}}=\{W\subseteq X\mid {W\cap \partial W}=\emptyset \}$

(R-A)   ${\mathcal {A}}=\{A\subseteq X\mid {\partial A}\subseteq A\}$

(OK-R)   $\partial W={\overline {W}}\setminus W^{\circ }$   (  $W\subseteq X$   )

Derivierte, Deriviertenoperator, Axiome der Derivierten

Eng verknüpft mit dem Kuratowskischen Hüllenoperator eines topologischen Raums   $(X,{\mathcal {O}})$   - ähnlich wie der Randbildungsoperator - ist der Deriviertenoperator   $d$   , welcher einer Teilmenge   $W$   von   $(X,{\mathcal {O}})$   ihre Derivierte   (englisch derived set )   $d(W)$   zuordnet. Statt von der Derivierten redet man auch von der Ableitung von   $W$   und schreibt   $W^{\prime }$   oder   $W^{\rm {d}}$   anstelle von   $d(W)$   .

Für eine Teilmenge   $W$   ist die Derivierte   $d(W)$   von   $W$   gleich der Menge ihrer Häufungspunkte (englisch accumulation points ), lässt sich also in Formeln darstellen als:

(AH-D)   $d(W)=\{x\in W\mid {x\in {\overline {(W\setminus \{x\})}}}\}$     $(W\subseteq X)$

Wie beim Rand von   $W$   gilt:

(D-AH)   ${\overline {W}}=W\cup d(W)$     $(W\subseteq X)$

Für den topologischen Raum   $(X,{\mathcal {O}})$   genügt dieser Mengenoperator auf   ${\mathcal {P}}$   für Teilmengen   $V$   und   $W$   von   $(X,{\mathcal {O}})$   stets den folgenden vier Regeln :

(D1)   $d(V\cup W)=d(V)\cup d(W)$

(D2)   $d(d(W))\subseteq W\cup d(W)$

(D3)   $d(\emptyset )=\emptyset$

(D4)   $\forall x\in X:x\notin d(\{x\})$

Ausgehend vom Begriff der Derivierten und von (D1) - (D4) als Axiomensystem kann die Allgemeinen Topologie vollständig entwickelt werden . Denn damit ist die Struktur des topologischen Raum  $(X,{\mathcal {O}})$   unzweideutig festgelegt. Der mittels der Gleichung (D-AH) definierte Mengenoperator auf   ${\mathcal {P}}$   ist ein Kuratowskischer Hüllenoperator und so in Verbindung mit (AH-D) umkehrbar eindeutig mit diesem und damit auch mit dem zugehörigen topologischen Raum  $(X,{\mathcal {O}})$   verknüpft.

Dabei ergeben sich bzgl.   $d$   die folgenden Gleichungen:

(D-O)   ${\mathcal {O}}=\{W\subseteq X\mid {W\cap d(X\setminus W)}=\emptyset \}$

(D-A)   ${\mathcal {A}}=\{A\subseteq X\mid d(A)\subseteq A\}$

(OK-D)   $d(W)=\{x\in W\mid {x\notin {((X\setminus W)\cup \{x\}})}^{\circ }\}$     $(W\subseteq X)$

Umgebung, Umgebungsfilter, Umgebungsaxiome

Der axiomatische Aufbau der Allgemeinen Topologie unter Zugrundelegung des Begriffs der Umgebung eines Punktes geht auf Felix Hausdorff und seine Grundzüge der Mengenlehre zurück . Dieser klassische Ansatz benutzt als wichtigste Strukturen Umgebungssysteme. Hierbei ist jedem   $x\in X$   ein Teilmengensystem   ${\mathcal {U}}_{x}\subseteq {\mathcal {P}}$   zugeordnet, für das jeweils die folgenden Regeln, genannt Umgebungsaxiome, als gegeben vorausgesetzt werden:

(U1)   ${\mathcal {U}}_{x}$ ist ein Filter innerhalb   $({\mathcal {P}},\subseteq )$   .

(U2)   $\forall U\in {\mathcal {U}}_{x}:x\in U$

(U3)   $\forall U\in {\mathcal {U}}_{x}:\exists V\in {\mathcal {U}}_{x}:\forall y\in V:U\in {\mathcal {U}}_{y}$

Für   $x\in X$   nennt man   ${\mathcal {U}}_{x}$   auch den Umgebungsfilter von   $x$   und jedes   $U\in {\mathcal {U}}_{x}$   eine Umgebung von   $x$   . Dabei ist stets   $X\in {\mathcal {U}}_{x}$  , also   ${\mathcal {U}}_{x}\neq \emptyset$  .

In einer weniger formalisierten Weise lassen sich die Umgebungsaxiome in Bezug auf einen beliebigen Punkt   $x\in X$ auch folgendermaßen ausdrücken  :

(U1)`   Die Grundmenge   $X$   ist Umgebung von   $x$   .

(U2)`   $x$   ist in jeder seiner Umgebungen als Punkt enthalten.

(U3)`   Jede Obermenge einer Umgebung von   $x$   ist ihrerseits Umgebung von   $x$  .

(U4)`   Der Durchschnitt endlich vieler Umgebungen von   $x$   ist Umgebung von   $x$  .

(U5)`   Ist   $U$   Umgebung von   $x$   , so umfasst   $U$   eine weitere Umgebung   $V$   von   $x$   derart, dass   $U$   selbst zu den Umgebungen eines jeden Punktes   $y\in V$   gehört.

Die oben beschriebene Struktur   $(X,({\mathcal {U}}_{x})_{x\in X})$   wird auch als Umgebungsraum bezeichnet .

Ein solcher Umgebungsraum über   $X$   ist nun umkehrbar eindeutig verknüpft mit dem topologischen Raum   $(X,{\mathcal {O}})$  , wenn man unter einer im Umgebungsraum offenen Menge folgendes versteht:

(U-O)   Die Teilmenge   $W\subseteq X$   ist offen dann und nur dann, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist.

Also:

(U-O)`   ${\mathcal {O}}=\{W\subseteq X\mid {\forall x\in W:W\in {\mathcal {U}}_{x}}\}$

Hierbei lassen sich die zum topologischen Raum   $(X,{\mathcal {O}})$   gehörigen Umgebungsfilter   ${\mathcal {U}}_{x}\subseteq {\mathcal {P}}$     $(x\in X)$   zurückgewinnen durch:

(O-U)   Eine Teilmenge   $U\subseteq X$   ist Umgebung von   $x\in X$   dann und nur dann, wenn eine offene Teilmenge   $W\subseteq X$  , also ein   $W\in {\mathcal {O}}$  , existiert mit   $x\in W\subseteq U$.

Also:

(O-U)`   ${\mathcal {U}}_{x}=\{U\subseteq X\mid {\exists W\in {\mathcal {O}}:x\in W\subseteq U}\}$

Die Beziehungen zu den übrigen Strukturelementen sind wie folgt:

- in Hinblick auf die abgeschlossenen Mengen:

(U-A)   $A\subseteq X$   ist eine abgeschlossen genau dann, wenn für   $x\in X$   aus der Tatsache, dass jede Umgebung   $U\in {\mathcal {U}}_{x}$   eine   nicht-leere Schnittmenge mit   $A$   hat, schon   $x\in A$   folgt.

Also:

(U-A)`   ${\mathcal {A}}=\{A\subseteq X\mid {\forall x\in X:({\forall U\in {\mathcal {U}}_{x}:A\cap U\neq \emptyset }\Rightarrow x\in A})\}$

- in Hinblick auf den Kuratowskischen Hüllenoperator :

(U-AH)   ${\overline {W}}:=\{x\in X\mid \forall U\in {\mathcal {U}}_{x}:{U\cap W\neq \emptyset }\}$     $(W\subseteq X)$  

- in Hinblick auf den Kernoperator :

(U-OK)   ${W^{\circ }}=\{x\in W\mid \exists U\in {\mathcal {U}}_{x}:U\subseteq W\}$   $(W\subseteq X)$  

- in Hinblick auf den Randbildungsoperator :

(U-R)     $\partial W=\{x\in X\mid \forall U\in {\mathcal {U}}_{x}:{U\cap W\neq \emptyset }\land {U\cap (X\setminus W)\neq \emptyset }\}$   $(W\subseteq X)$  

- in Hinblick auf den Deriviertenoperator :

(U-D)     $d(W)=\{x\in X\mid \forall U\in {\mathcal {U}}_{x}:{{(U\setminus \{x\})}\cap W\neq \emptyset }\}$   $(W\subseteq X)$  

Literatur

• Nicolas Bourbaki: General Topology. Part 1. Hermann, Paris 1966. 
• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X. 
• James Dugundji: Topology. 8. Auflage. Allyn and Bacon, Boston 1973. 
• Ryszard Engelking: Outline of General Topology. 8. Auflage. North-Holland Publishing Company, Amsterdam 1968. 
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• Egbert Harzheim, Helmut Ratschek: Einführung in die allgemeine Topologie. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1975, ISBN 3-534-06355-4. 
• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Reprint. First edition, Berlin, 1914. Chelsea Publishing Company, Ney York 1965, ISBN 0-8284-0061-X. 
• Horst Herrlich: Topologie I: Topologische Räume. Heldermann Verlag, Berlin 1986, ISBN 3-88538-102-8. 
• John L. Kelley: General topology. Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1975, ISBN 3-540-90125-6. 
• Hans-Joachim Kowalsky: Topologische Räume. Birkhäuser Verlag, Basel [u.a.] 1961. 
• Kazimierz Kuratowski: Topology. Volume I. Academic Press, New York [u. a.] 1966. 
• Jun-iti Nagata: Modern general topology. 2. Auflage. North-Holland Publishing Company, Amsterdam 1974, ISBN 0-7204-2107-1. 
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearb. und erw. Auflage. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 2001, ISBN 3-540-67790-9. 
• Gerhard Preuß: Allgemeine Topologie. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1972, ISBN 3-540-06006-5. 
• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975. 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6. 
• R. Vaidyanathaswamy: Set Topology (Reprint). 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Providence, RI 1964. 
• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts [u. a.] 1970. 

Überarbeitung: Hausdorffs Maximalkettensatz

Der Maximalkettensatz (auch als Maximalitätsprinzip von Hausdorff bzw. als Hausdorffs Maximalprinzip bezeichnet, in englischsprachigen Quellen oft Hausdorff maximal principle genannt) behandelt ein grundlegendes Prinzip der Mengenlehre. Der Maximalkettensatz ist im Rahmen der Mengenlehre auf Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Axiome äquivalent zum Auswahlaxiom.

Formulierung

Gegeben sei eine teilweise geordnete Menge $(P,{\leq })$ und darin eine Teilmenge $K\,$, die bzgl. der gegebenen Ordnungsrelation ${\leq }$ eine Kette darstellt, d. h. für je zwei Elemente $k_{1}\,$ und $k_{2}\,$ von $K\,$ gilt entweder $k_{1}\leq k_{2}$ oder $k_{2}\leq k_{1}$.

Dann existiert eine $K\,$ umfassende Kette $K_{0}\,$ von $(P,{\leq })$, die ihrerseits von keiner anderen Kette von $(P,{\leq })$ echt umfasst wird.

Kurzfassung

In einer geordneten Menge kann eine jede Kette zu einer maximalen Kette erweitert werden .

An dieser Kurzfassung lässt sich ablesen, wie die Bezeichnung Maximalkettensatz motiviert ist.

Direkte Herleitung aus dem Auswahlaxiom

Eine gut nachvollziehbare Herleitung des Maximalkettensatzes aus dem Auswahlaxiom ohne Benutzung des Wohlordnungssatzes gibt Walter Rudin im Anhang seines Lehrbuches Reelle und komplexe Analysis (s. u.). Wie er zeigt, liegt der entscheidende Beweisschritt in folgendem Lemma, welches Paul Halmos in seinem Lehrbuch Naive Mengenlehre (s. u.) benutzt, um das Lemma von Zorn aus dem Auswahlaxiom abzuleiten.

Der Hilfssatz von Halmos

Gegeben sei eine Grundmenge $X\,$ und hierzu ein nicht-leeres Mengensystem ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\,$ über $X\,$ mit der Eigenschaft, dass für jede Inklusionskette ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {F}}$ deren Vereinigung $\bigcup K$ wieder zu ${\mathcal {F}}\,$ gehört.

Weiter sei gegeben eine Funktion $g\colon \,{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}$ mit $A\mapsto g(A)$ für $A\in {\mathcal {F}}$, so dass folgende zwei Eigenschaften erfüllt sind:.

(1) $A\subseteq g(A)$

(2) $|g(A)\setminus A|\leq 1$

Dann existiert zu jedem $A_{0}\in {\mathcal {F}}$ ein $A_{1}\in {\mathcal {F}}$ mit

(a) $A_{0}\subseteq A_{1}$ .

(b) $g(A_{1})\ =A_{1}\,$ .

Der Beweis dieses Hilfssatzes erfolgt allein im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Auswahlaxiom. Aus ihm ergibt sich dann als direkte Folgerung das folgende Korollar, welches unmittelbar an den Maximalkettensatz heranführt:

Korollar

Gegeben sei eine Grundmenge $X\,$ und hierzu ein nicht-leeres Mengensystem ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\,$ über $X\,$ mit der Eigenschaft, dass für jede Inklusionskette ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {F}}$ deren Vereinigung $\bigcup K$ wieder zu ${\mathcal {F}}\,$ gehört.

Weiter sei gegeben eine Auswahlfunktion $f\colon \,{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}\to X$ mit $A\mapsto f(A)\in A$ für $A\in {\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}$.

Dann existiert zu jedem $A_{0}\in {\mathcal {F}}$ ein $A_{1}\in {\mathcal {F}}$ mit

(a) $A_{0}\subseteq A_{1}$ .

(b) Für kein $A\in {\mathcal {F}}$ gilt $A\varsupsetneqq A_{1}$ .

Beim Vergleich dieses Korollars mit dem Lemma von Zorn in der Formulierung von Zorns Originalartikel von 1935 ist augenfällig, dass bis auf die Voraussetzung einer Auswahlfunktion beide inhaltlich übereinstimmen.

Weiterhin folgt unmittelbar, da ja das System der Ketten einer teilweise geordneten Menge stets die Eigenschaften des oben auftretenden Mengensystems ${\mathcal {F}}\,$ aufweist, unter Voraussetzung des Auswahlaxioms der Maximalkettensatz.

Historische Anmerkungen

Felix Hausdorff veröffentlichte den Maximalkettensatz im Jahre 1914 in seinem bedeutenden Werk Grundzüge der Mengenlehre. Die oben wiedergegebene Formulierung ist diejenige, die in der mathematischen Literatur üblicherweise genannt wird. Streng bewiesen - ausgehend vom Wohlordnungssatz - hat Felix Hausdorff in den Grundzügen eine äquivalente und nur scheinbar schwächere Fassung:

In einer geordneten Menge $(P,{\leq })$ existiert stets mindestens eine Kette, die von keiner anderen Kette von $(P,{\leq })$ echt umfasst wird.

Hausdorff weist in einer Bemerkung im Anschluss an seinen Beweis darauf hin, dass der Maximalkettensatz in seiner obigen Formulierung mit einem ganz gleichartigen Beweis ebenfalls abgeleitet werden kann.

Manche Autoren der englischsprachigen Literatur (Kelley, Hamilton; siehe Literatur) ordnen den Maximalkettensatz Kazimierz Kuratowski zu und bezeichen ihn als Kuratowski Lemma. Hinsichtlich der mathematikgeschichtlichen Zusammenhänge ist anzumerken, dass der Maximalkettensatz von einer Anzahl von Mengentheoretikern in einer jeweils anderen, jedoch äquivalenten Form mehrmals entdeckt oder wiederentdeckt wurde. Als heute aus der mathematischen Lehrbuchliteratur bekanntestes Beispiel ist hier das Lemma von Zorn zu nennen. Interessant ist in diesem Zusammenhang, Walter Rudin in seiner Reellen und komplexen Analysis seine Darstellung des Maximalkettensatzes dahingehend kommemntiert , dass seine Beweisdarstellung derjenigen ähnlelt, welche Ernst Zermelo im Jahre 1908 als zweite Herleitung des Wohlordnungsatzes aus dem Auswahlaxiom vorgelegt hat.

Zur Entwicklungsgeschichte von Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz, Maximalkettensatz, Lemma von Zorn und anderer gleichwertiger Maximalprinzipien gibt die Monographie von Moore eine ausführliche Darstellung (s. Literatur).

Literatur

Originalarbeiten

• Ernst Zermelo: Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann. In: Math. Ann. 59. Jahrgang, 1904, S. 514–516. 

• Ernst Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. In: Math. Ann. 65. Jahrgang, 1908, S. 107–128. 

• Max Zorn: A Remark on Method in Transfinite Algebra. In: Bull. Amer. Math. Soc. 41. Jahrgang, 1935, S. 667–670. 

Monographien

• Srishti D. Chatterji et al. (Hrsg.): Felix Hausdorff. Gesammelte Werke. Band II: Grundzüge der Mengenlehre. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 2002, ISBN 3-540-42224-2. 

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 2002, ISBN 3-540-42948-4. 

• Keith Devlin: The joy of sets. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York [u.a.] 1993, ISBN 0-387-94094-4. 

• Alan G. Hamilton: Numbers, sets and axioms: The apparatus of mathematics. Cambridge University Press, Cambridge 1982, ISBN 0-521-24509-5. 

• Paul Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1976, ISBN 3-525-40527-8. 

• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Reprint. First edition, Berlin, 1914. Chelsea Publishing Company, Ney York 1965, ISBN 0-8284-0061-X. 

• John L. Kelley: General topology. Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1975, ISBN 3-540-90125-6. 

• Gregory H. Moore: Zermelo’s axiom of choice. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982, ISBN 3-540-90670-3. 

• Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-486-59186-6. 

Weiteres zur LYM-Ungleichung

Spätestens seit Lubells einfacher Herleitung des Spernerschen Satzes mit Hilfe der LYM-Ungleichung nimmt diese in der Spernertheorie einen zentralen Platz ein. Nach Lubells Artikel wurde eine Fülle von Ergebnissen über den Zusammenhang zwischen der LYM-Ungleichung bzw. LYM-artigen Ungleichungen und der Spernertheorie vorgelegt.

Die AZ-Identität

Diese Identität geht auf Rudolf Ahlswede und Zhen Zhang zurück und ist eine Verschärfung der LYM-Ungleichung. In der englischsprachigen Literatur wird sie als AZ identity (bzw. als AZ-identity) bezeichnet . Sie lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei eine endliche Menge   $M$   mit   $n$   Elementen (   $n\in \mathbb {N}$   ) und dazu ein Mengensystem ${\mathcal {A}}$ von nicht-leeren Teilmengen von $M$, also eine Teilmenge der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(M)$   .

Weiter sei für   $X\subseteq M$   :

$D_{\mathcal {A}}(X)={\begin{cases}\ \;\,\ \ \bigcap \{A\mid A\in {\mathcal {A}}\land A\subseteq X\}&\mathrm {falls} \ \exists A\in {\mathcal {A}}:A\subseteq X\\\ \;\,\ \ \emptyset &\mathrm {sonst} \end{cases}}$

Dann gilt:

${\sum _{X\subseteq M}{\frac {|D_{\mathcal {A}}(X)|}{|X|\cdot {\binom {n}{|X|}}}}}=1$

Für   $A\in {\mathcal {A}}$   ist   $D_{\mathcal {A}}(A)=\{A\}$ . Also ist   ${\sum _{A\in {\mathcal {A}}}{\frac {1}{\binom {n}{|A|}}}}$   in der obigen Summe enthalten, was zeigt, dass die AZ-Identität die LYM-Ungleichung unmittelbar impliziert.

Normale geordnete Mengen

Die normalen geordneten Mengen werden innerhalb der Ordnungstheorie umfassend behandelt. Die englischsprachige Literatur spricht hier von den normal posets. Charakteristische Eigenschaft der normalen geordneten Mengen ist die (in der englischsprachigen Literatur) sogenannte normalized matching property , welche als Übertragung der beiden Spernerschen Ungleichungen in den Rahmen der endlichen geordneten Mengen mit Rangfunktion (englisch rank function) zu betrachten ist. Es lässt sich zeigen, dass sie (in diesem Rahmen) mit dem Bestehen der LYM-Ungleichung gleichwertig ist. Die englischsprachigen Literatur nennt dies die LYM property.

Zusammenhang mit Gruppenoperationen

Ein anderer Ansatz geht aus von der Beobachtung, dass bei einer endlichen Potenzmenge   $2^{M}\,$   die Orbits identisch sind mit den Mächtigkeitsklassen. Betrachtet man nun statt   $Aut(2^{M},\subseteq )$   andere endliche Gruppen und allgemeine Gruppenoperationen, so ergibt sich die folgende verallgemeinerte LYM-Ungleichung, welche auch unabhängig von Ordnungsbetrachtungen Gültigkeit hat :

Gegeben sei eine endliche Gruppe $(G,\cdot )$ sowie eine endliche Menge $S\,$ , welche durch eine Gruppenoperation der Form

$G\times S\to S$

$(g,s)\mapsto g\cdot s$.

verknüpft seien.

Weiter sei gegeben eine Teilmenge $A\subseteq S$ , eine endliche Indexmenge $I\,$ und dazu eine Familie $(c_{i})_{i\in I}$ von Elementen von $S\,$.

Für $g\in G$ sei   $I_{g}=\{i\in I:{g\cdot c_{i}}\in A\}$  .

Dann gilt für jede Familie $(w_{i})_{i\in I}$ reeller Zahlen :

$\sum _{i\in I}{\frac {|{G\cdot c_{i}}\cap {A}|}{|{G\cdot c_{i}}|}}\cdot w_{i}\leq \max _{g\in G}\sum _{i\in I_{g}}{w_{i}}$.

Diese Verallgemeinerte LYM-Ungleichung umfasst die ursprüngliche Lubell-Yamamoto-Meshalkin-Ungleichung ebenso wie die Ungleichung von Bollobás und andere.

Weblink

• [1] Artikel von Rudolf Ahlswede und Ning Cai zur AZ-Identität in Combinatorica (Bd. 13, 1993)

Literatur

Artikel und Originalarbeiten

• Curtis Greene und Daniel J. Kleitman: Proof techniques in the theory of finite sets in : G. C. Rota (ed.): Studies in Combinatorics. Mathematical Association of America, Washington, DC 1978, ISBN 0-88385-117-2, S. 23–79. 

• Douglas B. West: Extremal problems in partially ordered sets in : Ivan Rival (ed.): Ordered Sets. Proceedings of the NATO advanced study institute held at Banff, Canada, August 28 to September 12, 1981. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht [u.a.] 1982, ISBN 90-277-1396-0, S. 473–521. 

• R. Ahlswede und Z. Zhang: An identity in combinatorial set theory. In: Advances in Mathematics. 80. Jahrgang, 1990, S. 137–151. 

• R. Ahlswede und N. Cai: A generalization of the AZ identity. In: Combinatorica. 13. Jahrgang, 1993, S. 241–247. 

• Hans-Josef Scholz: Über die Kombinatorik der endlichen Potenzmengen im Zusammenhang mit dem Satz von Sperner. Dissertation, Universität Düsseldorf (1987)

Monographien

• Konrad Engel: Sperner Theory. Cambridge University Press, Cambridge (u. a.) 1997, ISBN 0-521-45206-6. 

• Ian Anderson: Combinatorics of Finite Sets. Clarendon Press, Oxford 1987, ISBN 0-19-853367-5. 

Antikette

Version vom 06.04. 2012 / 21:26 h

Invarianzsätze von Brouwer

Version vom 14. 02. 2012 / 19:54 h

Satz von Helly

Version vom 01. 02. 2012 / 22:26 h

Satz von Radon

Version vom 08. 02. 2012 / 19:33 h

Auswahlsatz von Blaschke

Version vom 17. 02. 2012 / 20:40 h

Ungerade vollkommene Zahlen

Schon im Altertum wurde die Frage gestellt, ob es eine ungerade vollkommene Zahl $N\,$ überhaupt gibt. Dies ist eine offene Frage bis heute. Bisher hat man trotz intensiver Forschungsarbeit keine Antwort auf diese Frage gefunden. Bekannt sind nur einige notwendige Bedingungen:

• Es muss $N\not \equiv 2{\pmod {3}}$ und $N\equiv 1{\pmod {4}}\,$ gelten. Noch genauer gilt:

$N\equiv 1{\pmod {12}}\,$ oder $N\equiv 9{\pmod {36}}\,$ .

• $N\,$ hat mindestens 8 Primteiler.

• Wenn $N\not \equiv 0{\pmod {3}}\,$ , so hat besitzt $N\,$ mindestens 11 Primteiler.

• Es ist jedenfalls $N>10^{300}\,$.

• Ist $P_{max}\,$ der größte Primteiler von $N\,$, so ist $P_{max}>10^{8}\,$ .

• Hat $N\,$ genau $\omega \,$ Primteiler und ist $P_{min}\,$ der kleinste Primteiler von $N\,$ , so gilt:

$P_{min}<{\frac {2}{3}}\cdot \omega +2\,$ .

• Für die Summe der Kehrwerte der der Primteiler von $N\,$ gilt:.

${\frac {1}{2}}<{\frac {1}{P_{min}}}+\dots +{\frac {1}{P_{max}}}<\ln {2}\,$ .

Literatur

• Paulo Ribenboim: The new book of prime number records. 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 1996, ISBN 0-387-94457-5. 

Einzelnachweise

<references>