Compton-Effekt

linke is ne schwuchtel

Compton-Streuung eines γ-Quants an einem außenliegenden Hüllenelektron (schematisch)

Als Compton-Effekt bezeichnet man einen physikalischen Vorgang, bei dem die Wellenlänge von Photonen bei der Streuung an (quasi-) freien Elektronen um einen Wert $\Delta \lambda$ vergrößert wird (Frequenz bzw. Energie sinkt). In der Quantenelektrodynamik bezeichnet man elastische Streuprozesse zwischen (quasi-) freien Elektronen und Photonen als Compton-Streuung, falls sich die Energie und somit die Wellenlänge des gestreuten Photons von der des einfallenden Photons unterscheidet. Aufgrund dieser Änderung der Energie des Photons und der damit verbundenen Energieübertragung auf das Elektron spricht man jedoch von inelastischer (inkohärenter) Photonstreuung, um sie von der elastischen Photonstreuung (Thomson-Streuung) zu unterscheiden.

Die Wellenlängenänderung ist dabei (Herleitung siehe unten):

$\Delta \lambda ={\frac {h}{m_{0e}c}}\left(1-\cos \varphi \right).$

Compton-Effekt als Feynman-Graph

Feynman-Graph des Compton-Effektes

Nebenstehende Abbildung zeigt den Feynman-Graphen des Compton-Effektes. Die Zeit ist von links nach rechts aufgetragen. Man sieht, dass sich nach dem Zusammentreffen von Elektron und Photon ein virtuelles Teilchen bildet, welches nach einiger Zeit ein neues Photon mit größerer Wellenlänge emittiert; das anfänglich absorbierte Photon wird also vernichtet.

Geschichte

Der Compton-Effekt wurde zuerst von Arthur Holly Compton gefunden. Er untersuchte in seinen Experimenten die Streuung von Röntgenstrahlen an den quasifreien Außenelektronen von Graphit; 1921 zeigte Compton, dass Elektronen bei der Streuung einen Rückstoß erleiden und damit Energie absorbieren. Energie- und Impulsübertrag bzw. die damit verbundenen Streurichtungen von Elektron und Photon lassen sich dabei wie bei einem klassischen Teilchenstoß beschreiben. Ein Photon besitzt nach einer solchen Streuung weniger Energie als davor.

Der Effekt bestätigte Einsteins bis dahin umstrittene Lichtquanten-Hypothese und ist von Wichtigkeit bei der Herleitung der Planck-Welt.

Photonenmasse

Mit $E_{ph}=m_{ph}c^{2}$ kann einem Photon der Energie $E_{ph}=hf$ die Masse $m_{ph}={\frac {E}{c^{2}}}={\frac {hf}{c^{2}}}$ zugeordnet werden. Experimentell kann dies beispielsweise im Schwerefeld der Erde nachgewiesen werden: Ein sich nach oben bewegendes Photon vergrößert seine Wellenlänge mit zunehmender Höhe, weil es durch die festgelegte Geschwindigkeit nur hierüber Energie in potentielle umwandeln kann.

Photonenimpuls

Wegen $E_{ph}=m_{ph}c^{2}=p_{ph}c$, mit $p_{ph}=mc$, folgt für den Impuls

$p_{ph}={\frac {E}{c}}={\frac {hf}{c}}={\frac {h}{\lambda }}$, mit $c=f\lambda$

Treffen Photonen auf einen Streukörper stoßen sie dort elastisch mit freien Elektronen und fliegen mit verändertem Impuls weiter. Um die Impulserhaltung zu erfüllen ändert sich jedoch nicht ihre Geschwindigkeit, die mit c konstant bleiben muss, sondern ihre Masse/Energie über die Wellenlänge. Um die Wellenlängenänderung in Abhängigkeit vom Ablenkwinkel der Photonen (das heißt der Richtungsänderung des Impulses) zu bestimmen geht man von ruhenden Elektronen aus.

Herleitung

Energie des Elektrons vor der Streuung	Energie des Photons vor der Streuung
$E_{0e}=m_{0e}c^{2}$	$E_{ph}=hf$
Energie des Elektrons nach der Streuung	Energie des Photons nach der Streuung
$E_{e}=m_{e}c^{2}$	$E'_{ph}=hf'$
Energieerhaltungssatz	Impulserhaltungssatz
$E_{0e}+E_{ph}=E_{e}+E'_{ph}$	${\vec {p}}_{ph}={\vec {p}}_{e}+{\vec {p}}'_{ph}$
$m_{0e}c^{2}+hf=E_{e}+hf'$	Kosinussatz
$(hf-hf'+m_{0e}c^{2})^{2}=E_{e}^{2}$	$p_{e}^{2}=p_{ph}^{2}+p_{ph}^{\prime 2}-2p_{ph}p'_{ph}\cos \varphi$
Energie-Impuls Beziehung
$E_{0e}^{2}=E_{e}^{2}-(p_{e}c)^{2}\rightarrow m_{0e}^{2}c^{4}=E_{e}^{2}-p_{e}^{2}c^{2}$

Einsetzen des Energieerhaltungs- und Kosinussatzes in die Energie-Impuls Beziehung

$\left(hf-hf'+m_{0e}c^{2}\right)^{2}-\left(p_{ph}^{2}+p_{ph}^{\prime 2}-2p_{ph}p'_{ph}\cos \varphi \right)c^{2}=m_{0e}^{2}c^{4}$

$\left(hf-hf'+m_{0e}c^{2}\right)^{2}-\left[\left({\frac {hf}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {hf'}{c}}\right)^{2}-2\left({\frac {hf}{c}}\right)\left({\frac {hf'}{c}}\right)\cos \varphi \right]c^{2}=m_{0e}^{2}c^{4}$, mit $p_{ph}={\frac {hf}{c}}$

$\left(hf\right)^{2}-h^{2}ff'+hfm_{0e}c^{2}-h^{2}ff'+\left(hf'\right)^{2}-hf'm_{0e}c^{2}+hfm_{0e}c^{2}-hf'm_{0e}c^{2}+\left(m_{0e}c^{2}\right)^{2}$ $-\left(hf\right)^{2}-\left(hf'\right)^{2}+2h^{2}ff'\cos \varphi =m_{0e}^{2}c^{4}$

$\left(hf\right)^{2}-2h^{2}ff'+2hfm_{0e}c^{2}+\left(hf'\right)^{2}-2hf'm_{0e}c^{2}-\left(hf\right)^{2}-\left(hf'\right)^{2}+2h^{2}ff'\cos \varphi =0$

$2hfm_{0e}c^{2}-2hf'm_{0e}c^{2}-2h^{2}ff'+2h^{2}ff'\cos \varphi =0$

$2hfm_{0e}c^{2}-2hf'm_{0e}c^{2}-2h^{2}ff'\left(1-\cos \varphi \right)=0$

$2h\left[m_{0e}c^{2}\left(f-f'\right)\right]=2h^{2}ff'\left(1-\cos \varphi \right)$

$m_{0e}c^{2}\left(f-f'\right)=hff'\left(1-\cos \varphi \right)$

${\frac {f-f'}{ff'}}={\frac {h}{m_{0e}c^{2}}}\left(1-\cos \varphi \right)$

${\frac {1}{f'}}-{\frac {1}{f}}={\frac {h}{m_{0e}c^{2}}}\left(1-\cos \varphi \right)$

${\frac {c}{f'}}-{\frac {c}{f}}={\frac {hc}{m_{0e}c^{2}}}\left(1-\cos \varphi \right)\rightarrow \lambda '-\lambda ={\frac {h}{m_{0e}c}}\left(1-\cos \varphi \right)$

$\Delta \lambda ={\frac {h}{m_{0e}c}}\left(1-\cos \varphi \right)$

Eventuell unerwartet hierbei ist, dass die Wellenlängenänderung nur vom Ablenkwinkel $\varphi$, nicht aber von der ursprünglichen Wellenlänge des Photons abhängt. Bei einer Ablenkung von $\varphi =90^{\circ }$ ist $\Delta \lambda ={\frac {h}{m_{0e}c}}=2,43pm=\lambda _{C}$ und wird als "Compton-Wellenlänge des Elektrons" bezeichnet. Die relativ geringe Änderung ist die Ursache dafür, dass der Compton-Effekt nur bei kurzwelliger Strahlung wie Röntgenstrahlung beobachtet werden kann.

Compton-Spektrum und Compton-Kante

Datei:Compton-spektrum.png

Energieverteilung, der Compton-Elektronen, bei einfallenden monochromatischen γ-Quanten mit der Energie hf

Werden viele $\gamma$-Quanten der Energie $hf$ nach Compton gestreut (z.B. in einem Szintillator), so ergibt sich ein charakteristisches Energiespektrum der gestreuten Elektronen, wie es in der nebenstehenden Graphik gezeigt wird. Die Energie, die hierbei auf die Elektronen (des Absorbermaterials) übertragen wird, ist wegen der Winkelabhängigkeit kontinuierlich (Compton-Kontinuum), hat jedoch eine scharfe obere Schranke (Compton-Kante), da bei $\theta =\pi$ ein Maximum an Energie übertragen wird. Aus obigen Formeln errechnet man leicht einen Ausdruck für die Energie des Photons und die kinetische Energie des Elektrons nach der Streuung:

• Photon: $E_{\rm {\gamma }}'(\theta )=hf'(\theta )={\frac {hf}{1+{\frac {hf}{m_{0}c^{2}}}(1-\cos \theta )}}$
• Elektron: $E_{\rm {e^{-}}}'(\theta )=hf-hf'(\theta )=hf\left(1-{\frac {1}{1+{\frac {hf}{m_{0}c^{2}}}(1-\cos \theta )}}\right)$

Zusätzlich erhält man einen Peak bei der Energie $hf$. In diesem Fall wird die gesamte Energie des Photons auf das Elektron übertragen. Dies ist aber kein Compton-Effekt mehr. Das Atom ist nach der Compton-Streuung in einem angeregten Zustand und kann die Energie wieder als Photon abgeben

Anmerkung

Energien von Elektron und Photon bei der Compton-Streuung eine γ-Quants mit hf=100 keV

Photonen, die auf feste Elektronen oder Atomkerne treffen, ändern zwar ihre Bewegungsrichtung, nicht aber ihre Frequenz, da die festen Teilchen praktisch keine kinetische Energie erhalten. Dadurch besteht die gestreute Strahlung neben der durch den Compton-Effekt langwelligeren Strahlung auch zu einem Anteil aus Strahlung mit der Ausgangswellenlänge (Thomson-Streuung), die vom Ablenkwinkel abhängt. Man beachte, dass für energiereichere Strahlung (beispielsweise Röntgenstrahlung) auch die Hüllenelektronen näherungsweise als frei angesehen werden können.