Raum (Mathematik)

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Eine Hierarchie mathematischer Räume: Das Skalarprodukt induziert eine Norm. Die Norm induziert eine Metrik. Die Metrik induziert eine Topologie.

Ein Raum ist in der Mathematik eine Menge mit einer zusätzlichen Struktur.

Mathematische Räume bilden oft eine Hierarchie, das heißt ein Raum erbt alle Eigenschaften eines übergeordneten Raums. Beispielsweise sind alle normierten Räume auch metrische Räume, da die Norm $\|x\|$ beliebiger Punkte $x$ (das heißt der Abstand des Punktes zum Ursprung) auch einen Abstand $d(x,y)$ (Metrik) zwischen je zwei Punkten definiert, der durch

$d(x,y)=\|x-y\|$

gegeben ist. Man sagt, die Norm induziert eine Metrik.

Die moderne Mathematik behandelt den Begriff „Raum“ deutlich anders als die klassische Mathematik.

Geschichte

Vor dem goldenen Zeitalter der Geometrie

In der Mathematik des Altertums war der Begriff „Raum“ eine geometrische Abstraktion des im täglichen Leben beobachtbaren dreidimensionalen Raums. Seit Euklid (etwa 300 v.Chr.) sind axiomatische Methoden ein wichtiges Hilfsmittel der mathematischen Forschung. Durch René Descartes wurden 1637 kartesische Koordinaten (analytische Geometrie) eingeführt. Zu dieser Zeit wurden geometrische Lehrsätze als absolute Wahrheit angesehen, die durch Intuition und logisches Denken ähnlich wie die Naturgesetze erkannt werden konnten, und Axiome wurden als offensichtliche Folgerungen der Definitionen angesehen.

Zwischen geometrischen Figuren wurden zwei Äquivalenzrelationen verwendet: Kongruenz und Ähnlichkeit. Translationen, Rotationen und Spiegelungen bilden eine Figur in kongruente Figuren ab und Homothetien in ähnliche Figuren. Beispielsweise sind alle Kreise zueinander ähnlich, Ellipsen zu Kreisen jedoch nicht. Eine dritte Äquivalenzrelation, die 1795 in der projektiven Geometrie durch Gaspard Monge eingeführt wurde, entspricht projektiven Transformationen. Unter solchen Transformationen können nicht nur Ellipsen, sondern auch Parabeln und Hyperbeln in Kreise abgebildet werden; im projektiven Sinn sind alle diese Figuren äquivalent.

Diese Bezüge zwischen der euklidischen und der projektiven Geometrie zeigen, dass mathematische Objekte nicht zusammen mit ihrer Struktur gegeben sind. Vielmehr beschreibt jede mathematische Theorie ihre Objekte durch manche ihrer Eigenschaften, und zwar genau diejenigen, die durch Axiome bei der Grundlage der Theorie formuliert wurden.

Abstände und Winkel werden in den Axiomen der projektiven Geometrie nicht erwähnt, deshalb können sie in ihren Sätzen nicht auftauchen. Die Frage „was ist die Summe der drei Winkel eines Dreiecks“ hat nur in der euklidischen Geometrie eine Bedeutung, in der projektiven Geometrie ist sie aber gegenstandslos.

Im 19. Jahrhundert trat eine neue Situation auf: in manchen Geometrien ist die Summe der drei Winkel eines Dreiecks wohldefiniert, aber unterschiedlich zum klassischen Wert (180 Grad). In der nicht-euklidischen hyperbolischen Geometrie, die 1829 durch Nikolai Lobatschewski und 1832 durch János Bolyai (sowie, unpubliziert, 1816 durch Carl Friedrich Gauß) eingeführt wurde, hängt diese Summe vom Dreieck ab und ist immer kleiner als 180 Grad. Eugenio Beltrami und Felix Klein leiteten 1868 bzw. 1871 euklidische „Modelle“ der nichteuklidischen hyperbolischen Geometrie her, und rechtfertigten damit diese Theorie.

Diese Entdeckung erzwang die Abkehr vom Anspruch der absoluten Wahrheit der euklidischen Geometrie. Sie zeigte, dass die Axiome weder „offensichtlich“, noch „Folgerungen von Definitionen“ sind; vielmehr sind sie Hypothesen. Doch inwieweit entsprechen sie der experimentellen Realität? Diese wichtige physikalische Fragestellung hat nichts mehr mit Mathematik zu tun. Selbst wenn eine „Geometrie“ nicht mit der experimentellen Realität übereinstimmt, so bleiben ihre Sätze dennoch „mathematische Wahrheiten“.

Ein euklidisches Modell einer nicht-euklidischen Geometrie ist eine geschickte Wahl von Objekten im euklidischen Raum und Relationen zwischen diesen Objekten, die alle Axiome (und damit alle Sätze) der nicht-euklidischen Geometrie erfüllen. Diese euklidischen Objekte und Relationen „spielen“ die nicht-euklidische Geometrie vor, in ähnlicher Weise wie zeitgenössische Schauspieler eine historische Aufführung darbieten. Beziehungen zwischen den Schauspielern imitieren nur die Beziehungen zwischen den Charakteren im Schauspiel. Ebenso imitieren die ausgewählten Beziehungen der gewählten Objekte des euklidischen Modells die nicht-euklidischen Beziehungen. Dies zeigt, dass in der Mathematik die Beziehungen zwischen den Objekten, nicht die Objekte selbst, von essenzieller Bedeutung sind.

Das goldene Zeitalter und danach; dramatischer Wandel

Nicolas Bourbaki nennt die Zeit zwischen 1795 („deskriptive Geometrie“ von Monge) und 1872 (Erlanger Programm von Klein) das „goldene Zeitalter der Geometrie“. Die analytische Geometrie hatte große Fortschritte gemacht und konnte erfolgreich Sätze der klassischen Geometrie durch Rechnungen über Invarianten von Transformationsgruppen ersetzen. Seit dieser Zeit interessieren neue Sätze der klassischen Geometrie eher Amateure als professionelle Mathematiker.

Dies bedeutet jedoch nicht, dass das Erbe der klassischen Geometrie verloren ging. Nach Bourbaki wurde „die klassische Geometrie in ihrer Rolle als autonome und lebendige Wissenschaft überholt und in der Folge in eine universelle Sprache der zeitgenössischen Mathematik umgewandelt“.

Bernhard Riemann erklärte 1854 in seinem berühmten Habilitationsvortrag, dass jedes mathematische Objekt, das durch $n$ reelle Zahlen parametrisiert werden kann, als Punkt im $n$-dimensionalen Raum aller solchen Objekte angesehen werden kann. Heutzutage folgen Mathematiker routinemäßig dieser Idee und finden es sehr suggestiv, die Terminologie der klassischen Geometrie nahezu überall weiterzuverwenden. Nach Hermann Hankel (1867) soll man, um die Allgemeingültigkeit dieses Ansatzes vollständig zu würdigen, die Mathematik als „reine Theorie der Formen, deren Zweck nicht die Kombination von Größen oder ihrer Bilder, der Zahlen, sondern von Gedankenobjekten ist“ ansehen.

Funktionen sind wichtige mathematische Objekte. Üblicherweise bilden sie unendlich-dimensionale Räume, wie bereits Riemann feststellte, und wie im 20. Jahrhundert durch die Funktionalanalysis ausgearbeitet wurde.

Ein Objekt, das durch $n$ komplexe Zahlen parametrisiert wird, kann als Punkt eines $n$-dimensionalen komplexen Raums betrachtet werden. Das gleiche Objekt kann jedoch auch durch $2n$ reelle Zahlen (die Real- und Imaginärteile der komplexen Zahlen) parametrisiert werden und daher als Punkt im $2n$-dimensionalen Raum angesehen werden. Die komplexe Dimension unterscheidet sich also von der reellen Dimension. Dies ist jedoch nur die Spitze des Eisbergs. Das algebraische Konzept von Dimension bezieht sich auf Vektorräume, das topologische Konzept von Dimension auf topologische Räume. Für metrische Räume gibt es auch die Hausdorff-Dimension, die auch nicht-ganzzahlig (speziell für Fraktale) sein kann. Manche Räume (beispielsweise Maßräume) erlauben überhaupt kein Konzept einer Dimension.

Der ursprünglich von Euklid untersuchte Raum heißt heute „dreidimensionaler euklidischer Raum“. Seine Axiomatisierung, begonnen von Euklid vor 23 Jahrhunderten, wurde im 20. Jahrhundert durch David Hilbert, Alfred Tarski und George Birkhoff abgeschlossen. Hilberts Axiomensystem beschreibt den Raum über nicht genauer definierte Primitive (wie „Punkt“, „zwischen“ oder „kongruent“), deren Eigenschaften durch eine Reihe von Axiomen eingegrenzt werden. Eine solche Definition „von Grund auf“ ist heutzutage nur von geringem Nutzen, da sie nicht den Bezug dieses Raumes zu anderen Räumen aufzeigt. Der moderne Zugang definiert den dreidimensionalen euklidischen Raum eher algebraisch über Vektorräume und quadratische Formen als affinen Raum, dessen Differenzraum ein dreidimensionaler Skalarproduktraum ist.

Auch ein dreidimensionaler projektiver Raum wird heute nicht-klassisch als Raum aller eindimensionalen Unterräume (also Geraden durch den Ursprung) eines vierdimensionalen Vektorraums definiert.

Ein Raum besteht heute aus ausgewählten mathematischen Objekten (beispielsweise Funktionen zwischen anderen Räumen, Teilräume eines anderen Raums, oder auch nur den Elementen einer Menge), die als Punkte behandelt werden, sowie aus bestimmten Verknüpfungen zwischen diesen Punkten. Dies zeigt, dass Räume lediglich mathematische Strukturen sind. Man mag erwarten, dass Strukturen, die „Räume“ genannt werden, geometrischer als andere Strukturen sind, dies ist jedoch nicht immer der Fall. Beispielsweise ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit viel geometrischer als ein Maßraum, niemand würde sie jedoch als „differenzierbarer Raum“ bezeichnen.

Systematik der Räume

Drei Ränge der Systematik

Räume können auf drei Ebenen klassifiziert werden. Nachdem jede mathematische Theorie ihre Objekt durch manche ihrer Eigenschaften definiert, ist die erste Frage, die man sich stellt: welche Eigenschaften?

Die höchste Ebene der Klassifikation unterscheidet beispielsweise zwischen euklidischen und projektiven Räumen, nachdem der Abstand zweier Punkte in euklidischen Räumen definiert ist, in projektiven Räumen jedoch nicht. Diese Räume sind also von unterschiedlichem Typ.

Als weiteres Beispiel macht die Frage „was ist die Summe der drei Winkel eines Dreiecks“ nur in einem euklidischen Raum, nicht aber in einem projektiven Raum Sinn; diese Räume sind also von unterschiedlichem Typ. In nicht-euklidischen Räumen macht diese Frage Sinn und wird nur anders beantwortet, was keine Unterscheidung auf höchster Ebene darstellt.

Weiterhin ist die Unterscheidung zwischen einer euklidischen Ebene und einem dreidimensionalen euklidischen Raum keine Unterscheidung auf höchster Ebene, da die Frage „was ist die Dimension“ in beiden Fällen Sinn macht.

Nach Bourbaki ist diese Klassifikation auf höchster Ebene mit der „typischen Charakterisierung“ (oder „Typisierung“) verwandt. Die beiden Begriffe sind jedoch nicht identisch (da sich zwei äquivalente Strukturen in ihrer Typisierung unterscheiden können).

Auf der zweiten Ebene der Klassifikation betrachtet man Antworten auf besonders wichtige Fragen (unter den Fragen, die auf der höchsten Ebene Sinn machen). Beispielsweise unterscheidet diese Ebene zwischen euklidischen und nicht-euklidischen Räumen, zwischen endlich-dimensionalen und unendlich-dimensionalen Räumen, zwischen kompakten und nicht-kompakten Räumen usw.

Nach Bourbaki entspricht die Klassifikation auf zweiter Ebene den biologischen „Spezies“. Anders als in der biologischen Taxonomie kann jedoch ein mathematischer Raum mehreren Spezies angehören.

Auf der dritten Ebene der Klassifikation werden, grob gesprochen, Antworten zu allen möglichen Fragen (die auf der höchsten Ebene Sinn machen) betrachtet. Beispielsweise unterscheidet diese Ebene zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension, nicht aber zwischen einer Ebene des dreidimensionalen euklidischen Raums behandelt als zweidimensionaler euklidischer Raum und der Menge aller Paare reeller Zahlen ebenfalls behandelt als zweidimensionaler euklidischer Raum. Ebenso unterscheidet sie nicht zwischen verschiedenen euklidischen Modellen des gleichen nicht-euklidischen Raums.

Formaler klassifiziert die dritte Ebene Räume bis auf Isomorphie. Ein Isomorphismus zwischen zwei Räumen ist eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen den Punkten des ersten Raums und den Punkten des zweiten Raums, die alle Beziehungen zwischen den Punkten erhält, die durch die Typisierung festgelegt wurden. Wechselseitig isomorphe Räume werden als Kopien desselben Raums angesehen. Wenn ein Raum also zu einer bestimmten Spezies gehört, dann gehören ihr alle an.

Der Begriff des Isomorphismus wirft Licht auf die höchste Ebene der Klassifikation. Ist eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen zwei Räumen desselben Typs gegeben, dann kann man fragen, ob es sich um einen Isomorphismus handelt oder nicht. Diese Frage macht keinen Sinn für Räume unterschiedlichen Typs.

Isomorphismen eines Raums auf sich selbst werden Automorphismen genannt. Automorphismen eines euklidischen Raums sind Bewegungen und Spiegelungen. Der euklidische Raum ist homogen im dem Sinne, dass jeder Punkt des Raums durch einen bestimmten Automorphismus in jeden anderen Punkt des Raums transformiert werden kann.

Zwei Beziehungen zwischen Räumen und eine Eigenschaft von Räumen

Topologische Begriffe (wie Stetigkeit, Konvergenz und offene oder abgeschlossene Mengen) sind auf natürliche Weise in jedem euklidischen Raum definiert. Mit anderen Worten ist jeder euklidische Raum auch ein topologischer Raum. Jeder Isomorphismus zwischen zwei euklidischen Räumen ist auch ein Isomorphismus zwischen den beiden topologischen Räumen (genannt Homöomorphismus), die umgekehrte Richtung ist aber falsch: ein Homöomorphismus kann Abstände deformieren. Nach Bourbaki ist die Struktur „topologischer Raum“ eine zugrunde liegende Struktur von „euklidischer Raum“. Ähnliche Ideen tauchen in der Kategorientheorie auf: Die Kategorie der euklidischen Räume ist eine konkrete Kategorie über der Kategorie der topologischen Räume; der Vergissfunktor bildet erstere auf letztere Kategorie ab.

Ein dreidimensionaler euklidischer Raum ist ein Spezialfall eines euklidischen Raums. Nach Bourbaki ist die Spezies des dreidimensionalen euklidischen Raums reichhaltiger als die Spezies des euklidischen Raums. Ebenso ist die Spezies des kompakten topologischen Raums reichhaltiger als die Spezies des topologischen Raums.

Die euklidischen Axiome lassen keine Freiheitsgrade über, sie bestimmen eindeutig alle geometrischen Eigenschaften des Raumes. Genauer gesagt sind alle dreidimensionalen euklidischen Räume wechselseitig isomorph. In diesem Sinne gibt es „den“ dreidimensionalen euklidischen Raum. Nach Bourbaki ist die entsprechende Theorie univalent. Im Gegensatz dazu sind topologische Räume generell nicht isomorph und ihre Theorie ist multivalent. Eine ähnliche Idee tritt in der mathematischen Logik auf: eine Theorie wird kategorisch genannt, wenn alle ihre Modelle derselben Kardinalität wechselseitig isomorph sind. Nach Bourbaki ist das Studium multivalenter Theorien das wichtigste Merkmal, das die moderne Mathematik von der klassischen Mathematik unterscheidet.

Typen von Räumen

Vektorräume und topologische Räume

Zwei grundlegende Typen von Räumen sind Vektorräume und topologische Räume.

Vektorräume sind algebraischer Natur; es gibt reelle Vektorräume (über dem Körper der reellen Zahlen), komplexe Vektorräume (über dem Körper der komplexen Zahlen), und allgemeine Vektorräume über einem beliebigen Körper. Jeder komplexe Vektorraum ist auch ein reeller Vektorraum (letzterer Raum liegt ersteren zugrunde), da jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahl ist. Lineare Operationen, die in einem Vektorraum per Definition gegeben sind, führen zu Begriffen wie Gerade (auch Ebene und andere Untervektorräume), Parallele und Ellipse (auch Ellipsoid). Orthogonale Geraden können jedoch nicht definiert werden und Kreise können unter den Ellipsen nicht ausgesondert werden. Die Dimension eines Vektorraums ist als die maximale Zahl linear unabhängiger Vektoren oder, äquivalent dazu, als die minimale Zahl von Vektoren, die den Raum aufspannen, definiert; sie kann endlich oder unendlich sein. Zwei Vektorräume über demselben Körper sind genau dann isomorph wenn sie die gleiche Dimension haben.

Topologische Räume sind analytischer Natur. Offene Mengen, die in topologischen Räumen per Definition gegeben sind, führen zu Begriffen wie Stetigkeit, Weg, Grenzwert, Inneres, Rand und Äußeres. Jedoch bleiben Begriffe wie gleichmäßige Stetigkeit, Beschränktheit, Cauchy-Folge oder Differenzierbarkeit undefiniert. Isomorphismen zwischen topologischen Räumen werden traditionell Homöomorphismen genannt; sie sind Eins-zu-Eins-Korrespondenzen in beide Richtungen. Das offene Intervall $(0,1)$ ist homöomorph zur reellen Zahlengerade $(-\infty ,\infty )$, aber nicht homöomorph zum geschlossenen Intervall $[0,1]$ oder zu einem Kreis. Die Oberfläche eines Würfels ist homöomorph zu einer Sphäre (die Oberfläche einer Kugel), aber nicht homöomorph zu einem Torus. Euklidische Räume unterschiedlicher Dimension sind nicht homöomorph, was einleuchtend aber schwierig zu beweisen ist. Die Dimension eines topologischen Raums ist nicht leicht zu definieren; es werden die induktive Dimension und die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension verwendet. Jede Teilmenge eines topologischen Raums ist selbst ein topologischer Raum (im Gegensatz dazu sind nur lineare Teilmengen eines Vektorraums auch Vektorräume). Beliebige topologische Räume, die in der mengentheoretischen Topologie untersucht werden, sind für eine vollständige Klassifikation (bis auf Homöomorphie) zu divers. Sie sind (im Allgemeinen) inhomogen. Kompakte topologische Räume sind eine wichtige Klasse topologischer Räume („Spezies“ diesen „Typs“). Jede stetige Funktion ist in einem solchen Raum beschränkt. Das geschlossene Intervall $[0,1]$ und die erweiterte reelle Zahlengerade $[-\infty ,\infty ]$ sind kompakt; das offene Intervall $(0,1)$ und die reelle Zahlengerade $(-\infty ,\infty )$ sind dies nicht. Die geometrische Topologie untersucht Mannigfaltigkeiten (eine weitere „Spezies“ diesen „Typs“); dies sind topologische Räume, die lokal homöomorph to euklidischen Räumen sind. Niedrigdimensionale Mannigfaltigkeiten sind vollständig klassifiziert (bis auf Homöomorphie).

Diese beiden Strukturen (Vektorraum und topologischer Raum) sind beide der Struktur des topologischen Vektorraums zugrundeliegend. Das heißt ein topologischer Vektorraum ist sowohl ein (reeller oder komplexer) Vektorraum, als auch ein (sogar homogener) topologischer Raum. Jedoch sind beliebige Kombinationen dieser beiden Strukturen im allgemeinen keine topologischen Vektorräume; die beiden Strukturen müssen konform sein, das heißt die linearen Operationen müssen stetig sein.

Jeder endlich-dimensionale (reelle oder komplexe) Vektorraum ist ein topologischer Vektorraum in dem Sinne, dass er genau eine Topologie trägt, die ihn zu einem topologischen Vektorraum macht. Die beiden Strukturen „endlich-dimensionaler (reeller oder komplexer) Vektorraum“ und „endlich-dimensionaler topologischer Vektorraum“ sind demnach äquivalent, liegen sich also gegenseitig zugrunde. Entsprechend ist jede invertierbare lineare Transformation eines endlich-dimensionalen topologischen Vektorraums ein Homöomorphismus. In unendlicher Dimension sind zu einer gegebenen linearen Struktur verschiedene Topologien konform und invertierbare lineare Transformationen sind im allgemeinen keine Homöomorphismen.

Affine und projektive Räume

Es ist günstig, affine und projektive Räume über Vektorräume wie folgt einzuführen. Ein $n$-dimensionaler Untervektorraum eines $(n+1)$-dimensionalen Vektorraums ist selbst ein $n$-dimensionaler Vektorraum und als solches nicht homogen: er enthält mit dem Ursprung einen besonderen Punkt. Durch eine Verschiebung um einen nicht in diesem Untervektorraum liegenden Vektor erhält man einen $n$-dimensionalen affinen Raum, der homogen ist. In den Worten von John Baez ist „ein affiner Raum ein Vektorraum, der seinen Ursprung vergessen hat“. Eine Gerade in einem affinen Raum ist, per Definition, ihr Schnitt mit einem zweidimensionalen linearen Teilraum (einer Ebene durch den Ursprung) des $(n+1)$-dimensionalen Vektorraums. Jeder Vektorraum ist auch ein affiner Raum.

Jeder Punkt eines affinen Raums ist sein Schnitt mit einem eindimensionalen Unterverktorraum (einer Gerade durch den Ursprung) des $(n+1)$-dimensionalen Vektorraums. Manche eindimensionalen Unterräume sind jedoch parallel zu dem affinen Raum, auf gewisse Weise schneiden sie sich im Unendlichen. Die Menge aller eindimensionalen Untervektorräume eines $(n+1)$-dimensionalen Vektorraums ist, per Definition, ein $n$-dimensionaler projektiver Raum. Wählt man einen $n$-dimensionalen affinen Raum wie zuvor, dann beobachtet man, dass der affine Raum als echte Teilmenge in den projektiven Raum eingebettet ist. Der projektive Raum selbst ist jedoch homogen. Eine Gerade in dem projektiven Raum entspricht, per Definition, einem zweidimensionalen Untervektorraum des $(n+1)$-dimensionalen Vektorraums.

Die auf diese Weise definierten affinen und projektiven Räume sind algebraischer Natur. Sie können reell, komplex oder allgemein über einem beliebigen Körper definiert sein.

Jeder reelle (oder komplexe) affine oder projektive Raum ist auch ein topologischer Raum. Ein affiner Raum ist eine nicht-kompakte Mannigfaltigkeit; ein projektiver Raum ist eine kompakte Mannigfaltigkeit.

Metrische und uniforme Räume

In einem metrischen Raum werden Abstände zwischen Punkten definiert. Jeder metrische Raum ist auch ein topologischer Raum. In einem metrischen Raum (aber nicht direkt in einem topologischen Raum) sind beschränkte Mengen und Cauchy-Folgen definiert. Isomorphismen zwischen metrischen Räumen heißen Isometrien. Ein metrischer Raum heißt vollständig, falls alle Cauchy-Folgen konvergieren. Jeder nicht vollständige Raum ist isometrisch in seine Vervollständigung eingebettet. Jeder kompakte metrische Raum ist vollständig; die reelle Zahlengerade ist nicht kompakt aber vollständig; das offene Intervall $(0,1)$ ist nicht vollständig.

Ein topologischer Raum heißt metrisierbar, falls er einem metrischen Raum zugrunde liegt. Alle Mannigfaltigkeiten sind metrisierbar.

Jeder euklidische Raum ist auch ein vollständiger metrischer Raum. Zudem können alle geometrischen Begriffe, die für einen euklidischen Raum wesentlich sind, über seine Metrik definiert werden. Beispielsweise besteht die Strecke zwischen zwei Punkten $A$ und $C$ aus allen Punkten $B$, sodass der Abstand zwischen $A$ und $C$ gleich der Summe der Abstände zwischen $A$ und $B$ sowie $B$ und $C$ ist.

Uniforme Räume erlauben es zwar nicht Abstände einzuführen, aber trotzdem Begriffe wie gleichmäßige Stetigkeit, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit und Vervollständigung zu definieren. Jeder uniforme Raum ist auch ein topologischer Raum. Jeder topologische Vektorraum (egal ob metrisierbar oder nicht) ist auch ein uniformer Raum. Allgemeiner ist jede kommutative topologische Gruppe ein uniformer Raum. Eine nicht-kommutative topologische Gruppe trägt jedoch zwei uniforme Strukturen, eine links-invariante und eine rechts-invariante. Topologische Vektorräume sind in endlichen Dimensionen vollständig, in unendlichen Dimensionen aber im allgemeinen nicht.

Normierte, Banach-, Skalarprodukt- und Hilberträume

Die Vektoren in einem euklidischen Raum bilden einen Vektorraum, aber jeder Vektor $x$ besitzt auch eine Länge, in anderen Worten eine Norm $\|x\|$. Ein (reeller oder komplexer) Vektorraum mit Norm heißt normierter Raum. Jeder normierte Raum ist sowohl ein topologischer Vektorraum als auch ein metrischer Raum. Ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Raum. Viele Folgen- oder Funktionenräume sind unendlich-dimensionale Banachräume.

Die Menge der Vektoren mit Norm kleiner als eins wird Einheitskugel des normierten Raums genannt. Sie ist eine konvexe zentralsymmetrische Menge, im allgemeinen aber kein Ellipsoid, zum Beispiel kann sie auch ein Polygon (in der Ebene) sein. Die Parallelgrammgleichung $\|x-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}$ ist in normierten Räumen im allgemeinen nicht erfüllt, sie gilt aber für Vektoren in euklidischen Räumen, was daraus folgt, dass das Quadrat der euklidischen Norm eines Vektors dem Skalarprodukt mit sich selbst entspricht.

Ein Skalarproduktraum ist ein (reeller oder komplexer) Vektorraum, der mit einer Bilinear- oder Sesquilinearform ausgestattet ist, die gewisse Bedingungen erfüllen muss und demnach Skalarprodukt genannt wird. Jeder Skalarproduktraum ist auch ein normierter Raum. Ein normierter Raum liegt einem Skalarproduktraum genau dann zugrunde, wenn in ihm die Parallelogrammgleichung erfüllt ist oder, äquivalent dazu, wenn seine Einheitskugel ein Ellipsiod ist. In einem Skalarproduktraum sind auch Winkel zwischen Vektoren definiert. Ein Hilbertraum ist ein vollständiger Skalarproduktraum. (Manche Autoren beharren darauf, dass er komplex sein muss, andere lassen auch reelle Hilberträume zu.) Einige Folgen- und Funktionenräume sind unendlich-dimensionale Hilberträume. Hilberträume sind für die Quantenmechanik sehr wichtig.

Alle $n$-dimensionalen reellen Skalarprodukträume sind wechselseitig isomorph. Man kann sagen, dass der $n$-dimensionale euklidische Raum ein $n$-dimensionaler reeller Skalarproduktraum ist, der seinen Ursprung vergessen hat.

Differenzierbare und Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten werden selten als „Räume“ bezeichnet, können aber als solche aufgefasst werden. Glatte (differenzierbare) Funktionen, Kurven und Karten, die in einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit per Definition gegeben sind, führen zu Tangentialräumen. Jede differenzierbare Mannigfaltigkeit ist eine (topologische) Mannigfaltigkeit. Glatte Flächen in einem endlichdimensionalen Vektorraum (wie etwa die Oberfläche eines Ellipsoids, nicht aber die eines Polytops) sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Jede differenzierbare Mannigfaltigkeit kann in einen endlichdimensionalen Vektorraum eingebettet werden. Eine glatte Kurve in einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit hat (an jedem Punkt) einen Tangentialvektor, die zum Tangentialraum (an diesem Punkt) gehört. Der Tangentialraum einer $n$-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Eine glatte Funktion besitzt (an jedem Punkt) ein Differential – ein lineares Funktional auf dem Tangentialraum. Reelle (oder komplexe) endlichdimensionale Vektorräume, affine Räume und projektive Räume sind alle ebenfalls differenzierbare Mannigfaltigkeiten.

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit oder ein Riemannscher Raum ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, deren Tangentialraum mit einem metrischen Tensor ausgestattet ist. Euklidische Räume, glatte Flächen in euklidischen Räumen und hyperbolische nichteuklidische Räume sind auch Riemannsche Räume. Eine Kurve in einem Riemannschen Raum hat eine Länge. Ein Riemannscher Raum ist sowohl eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, als auch ein metrischer Raum; der Abstand ist die Länge der kürzesten Kurve. Der Winkel zwischen zwei Kurven, die sich an einem Punkt schneiden, ist der Winkel zwischen ihren Tangentialvektoren.

Verzichtet man auf die Positivität des Skalarprodukts auf dem Tangentialraum erhält man pseudo-Riemannsche (und insbesondere Lorentzschen-) Mannigfaltigkeiten, die wichtig für die allgemeine Relativitätstheorie sind.

Messräume, Maßräume und Wahrscheinlichkeitsräume

Verzichtet man auf Abstände und Winkel, behält jedoch das Volumen (geometrischer Körper) bei, gelangt man in das Gebiet der Maßtheorie. Abgesehen vom Volumen verallgemeinern Maße auch die Flächeninhalte, Längen, Massen- und Ladungsverteilungen sowie Wahrscheinlichkeitsverteilungen, gemäß der Herangehensweise Andrei Kolmogorows an die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Ein „geometrischer Körper“ ist in der klassischen Mathematik sehr viel regulärer als einfach nur eine Menge von Punkten. Der Rand des Körpers hat das Volumen null. Daher ist das Volumen des Körpers gleich dem Volumen seines Inneren, und das Innere kann durch eine unendliche Folge von Würfeln ausgeschöpft werden. Im Gegensatz dazu kann der Rand einer beliebigen Menge ein Volumen ungleich null besitzen (ein Beispiel: die Menge aller rationalen Punkte innerhalb eines gegebenen Würfels). Der Maßtheorie gelang es, den Begriff des Volumens (oder eines anderen Maßes) auf eine enorm große Klasse von Menge auszudehnen, die sogenannten messbaren Mengen. Tatsächlich treten nicht messbare Mengen in Anwendungen nicht auf, aber dennoch muss sich die Theorie auf messbare Mengen (und Funktionen) beschränken.

Messbare Mengen, wie sie in einem messbaren Raum per Definition gegeben sind, führen auf messbare Funktionen und Abbildungen. Um einen topologischen Raum zu einem Messraum zu machen, stattet man ihn mit einer σ-Algebra aus. Die σ-Algebra der Borel-Mengen ist die verbreitetste, aber nicht die einzige Wahl (Baire-Mengen, universell messbare Mengen usw. werden gelegentlich verwendet). Alternativ kann eine σ-Algebra auch durch eine gegebene Familie von Mengen (oder Funktionen) erzeugt werden, ohne irgendeine Topologie in Betracht zu ziehen. Häufig führen verschiedene Topologien zur gleichen σ-Algebra (beispielsweise die Normtopologie und schwache Topologie auf einem separablen Hilbertraum). Jede Teilmenge eines Messraums ist selbst wieder ein Messraum.

Standardmessräume (auch Standard-Borel-Räume genannt) sind besonders nützlich. Jede Borel-Menge (insbesondere jede abgeschlossene und jede offene Menge) in einem euklidischen Raum (und allgemeiner in einem vollständigen separablen metrischen Raum) ist ein Standardmessraum. Alle überabzählbaren Standardmessräume sind zueinander isomorph.

Ein Maßraum ist ein Messraum, der mit einem Maß versehen ist. Ein euklidischer Raum mit dem Lebesgue-Maß ist ein Maßraum. In der Integrationstheorie werden Integrierbarkeit und Integrale messbarer Funktionen auf Maßräumen definiert.

Mengen vom Maß 0, sogenannte Nullmengen, sind vernachlässigbar. Dementsprechend ist ein Isomorphismus mod 0 definiert als Isomorphismus zwischen Teilmengen mit vollem Maß (d. h. mit vernachlässigbarem Komplement).

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum, bei dem das Maß des ganzen Raums gleich 1 ist. Das Produkt einer beliebigen Familie (endlich oder nicht) von Wahrscheinlichkeitsräumen ist wieder ein Wahrscheinlichkeitsraum. Im Gegensatz dazu ist für allgemeine Maßräume nur das Produkt endlich vieler Räume definiert. Dementsprechend gibt es zahlreiche unendlich-dimensionale Wahrscheinlichkeitsmaße (z. B. Gauß-Verteilungen), aber kein unendlich-dimensionales Lebesgue-Maß.

Standard-Wahrscheinlichkeitsräume sind besonders nützlich. Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Standard-Wahrscheinlichkeitsraum führt zu einem Standard-Wahrscheinlichkeitsraum. Das Produkt einer Folge (endlich oder nicht) von Standard-Wahrscheinlichkeitsräumen ist wieder ein Standard-Wahrscheinlichkeitsraum. Alle atomlosen Standard-Wahrscheinlichkeitsräume sind zueinander isomorph mod 0; einer von ihnen ist das Intervall $(0,1)$ mit dem Lebesgue-Maß.

Diese Räume sind weniger geometrisch. Insbesondere lässt sich die Idee der Dimension, wie sie (in der einen oder anderen Form) auf alle anderen Räume anwendbar ist, nicht auf Messräume, Maßräume und Wahrscheinlichkeitsräume anwenden.

Siehe auch

• Raum (Philosophie)
• Raum (Physik)

Literatur

• Kiyosi Itô: Encyclopedic dictionary of mathematics. Mathematical society of Japan (Original), MIT press (engl. Übersetzung), 1993. 
• Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader: The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press, 2008, ISBN 978-0-691-11880-2. 
• Nicolas Bourbaki: Elements of mathematics. Hermann (Original), Addison-Wesley (engl. Übersetzung). 
• Nicolas Bourbaki: Elements of the history of mathematics. Masson (Original), Springer (engl. Übersetzung), 1994. 
• Nicolas Bourbaki: Elements of mathematics: Theory of sets. Hermann (Original), Addison-Wesley (engl. Übersetzung), 1968. 

Einzelnachweise und Anmerkungen

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