Diskussion:Quartische Gleichung/Archiv

Korrektheit

Ich musste eben feststellen, dass bereits in der Berechnung der Lösung der kubischen Gleichung ein Fehler in der Fallunterscheidung auftritt. Ich schlage daher vor, dass wir zunächst zusätzlich noch einen Verweis auf die englische Seite anbringen, bis wir auch richtige Formeln gefunden haben. --RBRiddick 00:30, 3. Okt 2004 (CEST)

Korrektheit des ursprünglichen Algorithmus ist fraglich

Daher erfolgt die Auslagerung in die Diskussions Seite zwecks abschließender Ausformulierung:

Da der nachfolgende Algorithmus noch nicht so richtig fehlerfrei zu sein scheint, wird an dieser Stelle zusätzlich noch auf die englische Seite Quartic equation (siehe auch Wikipedias „andere Sprachen“ Feld) verwiesen.

Beispiel für Mangel:
> a=1
> b=-10
> c=-6
> d=-60
> e=36
>
> p=(3*b*d-c^2)/12/a^2 -e/a
> p
        111
> q=(8*c*e-3*d^2)/24/a^2-(27*b^2*e-9*b*c*d+2*c^3)/216/a^3
> q
        -1120
>
> q^2/4+p^3/27
        364253
>
> z=exp(ln(-q/2+sqrt(q^2/4+p^3/27))/3)+exp(ln(-q/2-sqrt(q^2/4+p^3/27))/3)
> z^3+p*z+q
        ~1751.21943156421511923007+~1687.39755319009138312867i
>
> z=2*sqrt(-p/3)*cos(acos(-q*sqrt(-27/p^3)/2)/3)
> z^3+p*z+q
        ~-.00000000000000118230-~.00000000000000001771i

Durch Division durch a bringt man die quartische Gleichung auf die Form:

$x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx+s=0$

Auf diese Form kann man das von Lodovico Ferrari (*1522, †1565) gefundene Lösungsverfahren anwenden:

$a=A,b=B,c=C,d=D,e=E$

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

Sei nun

$z^{3}+pz+q=0\quad \quad (2)$

mit

• $p={3bd-c^{2} \over 12a^{2}}-{e \over a}$
• $q={8ce-3d^{2} \over 24a^{2}}-{27b^{2}e-9bcd+2c^{3} \over 216a^{3}}$.

Für (2) existiert eine reelle Lösung $z$ (siehe Kubische Gleichung):

• Fall 1: ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}>0$

$z={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{{-{q \over 2}}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$

• Fall 2: ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}=0$

$z={\sqrt[{3}]{q \over 2}}$

• Fall 3: ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0$

$z=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {-q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)$

Sei $y=z+{c \over 6a}$

Dann liefert die folgende Fallunterscheidung Lösungen für (1):

• Fall 1: ${by-d \over a}>0$

$x_{1}=-{b \over 4a}+{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}+{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}-{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

$x_{2}=-{b \over 4a}-{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}+{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}-{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

$x_{3}=-{b \over 4a}+{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}-{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}+{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

$x_{4}=-{b \over 4a}-{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}-{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}+{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

• Fall 2: ${by-d \over a}<0$

$x_{1}=-{b \over 4a}+{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}+{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}+{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

$x_{2}=-{b \over 4a}-{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}+{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}+{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

$x_{3}=-{b \over 4a}+{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}-{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}-{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

$x_{4}=-{b \over 4a}-{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}-{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}-{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

Kubische Gleichung

Der Mangel wurde durch Verweis auf den Artikel Kubische Gleichung behoben, nachdem dort derselbe Mangel beseitigt wurde. --83.129.184.57 12:46, 17. Jul 2005 (CEST)

Ferrari

Wie heisst der? Ferrari? Ich war das nicht 00:11, 20. Jul 2004 (CEST)

Er heißt so.

http://www.math.uni-goettingen.de/skraemer/glei34.html

--Wollschaf 00:19, 20. Jul 2004 (CEST)

weil da einmal Ferrari, einmal Ferranti steht. Dachte, wär vielleicht ein Versehen Ich war das nicht 00:22, 20. Jul 2004 (CEST)

War es auch (habe ich übersehen). Danke für den Hinweis, ist korrigiert. --Wollschaf 00:40, 20. Jul 2004 (CEST)

Name des Artikels

Irgendwie steht bei unseren englischen Brüdern und selbstverständlich auch Schwestern, dass eine biquadratische Gleichung wie folgt aussieht:

$a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}=0\,\!$

während die Gleichung, die wir hier in diesem Artikel betrachten dann eine Quartische Gleichung wäre. Natürlich kenne ich das ewige Theater bei den Mathematikern (die Szene aus Farnsworth's Parabox (Futurama) an der Chandelier Kontrolleinrichtung lässt grüßen) mit den Begriffs-Namen (etwa: Ordnung - totale Ordnung - partielle Ordnung: man muss damit rechnen, dass jeder Autor anders abkürzt). In diesem hier vorliegenden Fall erscheint mir der Name des nämlichen Begriffes jedoch recht gestelzt zu sein. Ich schlage daher vor, die Seite an den Artikel en:Quartic equation anzupassen und dabei auch noch einen Artikel Quartische Gleichung anzulegen. --RBRiddick 22:49, 2. Okt 2004 (CEST)

Diesen Vorschlag habe ich soeben selbst umgesetzt. --RBRiddick 00:30, 3. Okt 2004 (CEST)

Namensänderung dringend erforderlich!

Auch wenn von Teilen der mathematischen Welt verwendet, ist der Terminus biquadratische Gleichung IMHO - und in der einiger Schüler, die diesen Artikel gefunden und sich nicht gefreut haben - sowohl logisch eher dem Falle $a*x^{4}+b*x^{2}+c=0$ zuzuordnen, als auch im allgemeinen, nicht formal-mathematischen Sprachgebrauch. Für diejenigen, denen der Begriff "Quartische Gleichung" Unbehagen bereitet, könnte man ja noch den Begriff "Polynomiale Gleichung vierten Grades" verwenden.

Zu diesem Thema habe ich die WWW Seite [1] gefunden, die diese Frage diskutiert. Offenbar bezieht sich das Wort „biquadratisch“ vielmehr auf das zweifache Quadrat, also die höchste Potenz des $x$, und überhaupt gar nicht auf etwaige quadratische Potenzen.

Diese Meinung scheint von den Universitäten im deutschen Sprachraum geteilt zu werden, weil ich mit einer bestimmten Suchmaschine bei der Suche nach „quartische Gleichung“ nur die vorgenannte Seite gefunden habe, während ich jedoch etwa 180 Seiten mit der selben Suchmaschine bei der Suche nach „biquadratische Gleichung“ gefunden habe.

Ich halte daher fest, dass weitere Anpassungen an den englischen Sprachgebrauch nicht geboten sind.

--83.129.177.150 13:09, 1. Nov 2004 (CET)

Ich bin auch der Meinung, daß der Name des Artikels Quartische Gleichung lauten sollte, da m.E. eine biquadratische Gleichung in $x$ eine quadratische Gleichung in $x^{2}$ ist. Erstens wurden diese Bezeichnungen in meinem Studium verwendet, zweitens bin ich auf diesen Artikel gestoßen, nachdem ich es mit einer Gleichung der Form $a*x^{8}+b*x^{6}+c*x^{4}+d*x^{2}+e=0$ zu tun bekam, für die mir der Begriff "biquartische Gleichung" einfiel. Ich bin nicht der Meinung, daß es sich hier um Anpassungen an den englischen Sprachgebrauch, sondern um Anpassungen an einen vernünftigen Sprachgebrauch handelt.

--Uwe Sassenberg

Struktur

Mir erscheinen die Sprünge in der Herleitung der Formeln etwas zu groß... Soll wohl für Ingenieure sein!? :-) Ich schlage daher vor, entsprechende Ergänzungen durch Übersetzung aus en:Quartic equation vorzunehmen. Sollte ich binnen 10 Kalender Tagen keinen Einwand hören, werde ich die Änderungen vornehmen. --RBRiddick 22:57, 2. Okt 2004 (CEST)

Anmerkung

Beim Stöbern ist mir aufgefallen, dass die Artikel zu den verschiedenen Gleichungen zwar im grossen und ganzen durchdacht sind, aber verschiedene Ausdrucksformen verwendet werden

$a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,\!$

oder:

$a*x^{4}+b*x^{3}+c*x^{2}+d*x+e=0\,\!$

Teilweise werden die Koeffizienten sogar ignoriert. Weiterhin werden Formeln verwendet und dabei wird nicht einmal darauf ingewiessen wieso sie angewendet werden oder wie man darauf kommt. Ich will hir die Autoren der Artikel nicht schlecht reden es ist schön zu sehen dass jemand sich die Mühe macht solche Artikel zu schreiben. Dennoch für jemanden der sich Hilfestellung von einem solchen Artikel erhofft, wird es sehr schwer sein die Rechnungen nachzuvollziehen.

Ich schlage daher vor dass wenn jemand Lust und Zeit dazu hat der die Artikel zum Thema Gleichungen auf eine einheitliche Ebene bringt. Und wenigstens einen kurzen Satz dazu schreibt wieso welche Formel verwendet wird.