Trägheitskraft

Trägheitskräfte oder Scheinkräfte sind diejenigen Kräfte, die auf Körper deshalb wirken, weil man sie nicht in einem Inertialsystem, sondern in einem beschleunigten Bezugssystem beschreibt. Hierzu gehören beispielsweise Bezugssysteme, die fest mit einem beschleunigten Objekt verbunden sind. Trägheitskräften liegt keine der fundamentalen Wechselwirkungen der Physik zugrunde. Trägheitskräfte resultieren vielmehr daraus, dass sich kräftefreie Körper aufgrund des Trägheitssatzes im Inertialsystem unbeschleunigt bewegen, was aus Sicht eines beschleunigten Bezugssystems aber als beschleunigte Bewegung beobachtet wird. Diese Beschleunigung wird mit einer Kraft erklärt, die im Inertialsystem nicht auftritt. Daher bezeichnet man diese Kraft auch als Scheinkraft.

Daneben werden Trägheitskräfte oder Scheinkräfte auch im Sinne des D’Alembertschen Prinzips angewendet. Dabei wird jedem Körper eine Kraft zugeordnet, die gleich dem negativen Produkt aus seiner Masse und seiner Beschleunigung im Inertialsystem ist. Dadurch wird ein dynamisches Problem zu einem statischen Problem umformuliert. Das Prinzip spielt eine bedeutsame Rolle in der Technischen Mechanik, beispielsweise beim Motorenbau. Die Trägheitskräfte werden oft auch Massenkräfte genannt.

Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem

Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem

Die Bewegung einer Person, etwa eines Insassen eines beschleunigenden oder bremsenden Autos oder des Fahrgastes eines beschleunigenden oder bremsenden Eisenbahnzuges, kann in einem Inertialsystem unter Benutzung der newtonschen Bewegungsgleichungen beschrieben werden. Wird derselbe Vorgang hingegen in einem beschleunigten, fahrzeugfesten Bezugssystem beschrieben, müssen Trägheitskräfte im Sinne von Scheinkräften eingeführt werden, damit die newtonschen Bewegungsgleichungen auch in diesem Bezugssystem angewendet werden können.

Im Inertialsystem wird eine beschleunigte Bewegung durch die Einwirkung der Kraft ${\vec {F}}=m\,{\vec {a}}$ verursacht. Beispielsweise ist eine Person der Federkraft des Sitzes in einem beschleunigenden Auto unterworfen. Wird hingegen das mitbeschleunigte Bezugssystem, in dem das Auto und somit die Person ruht, zur Beschreibung des Vorgangs benutzt, dann kann die Federkraft des Sitzes nicht die einzige Kraft sein, die auf die Person wirkt. Denn um die Person als ruhend anzusehen, muss ein Kräftegleichgewicht vorliegen. Es wird also eine entgegengesetzte Kraft ${\vec {F}}_{T}=-m\,{\vec {a}}_{B}$ angenommen, welche die Federkraft (scheinbar) ausgleicht, sodass ${\vec {F}}+{\vec {F}}_{T}=0$ gilt, wobei ${\vec {a}}_{B}$ die Beschleunigung des Bezugssystems ist. Da die Kraft ${\vec {F}}_{T}$ proportional zur Masse der Person und zur Beschleunigung ist, wird sie als Trägheitskraft bezeichnet, und da sie nur auftritt weil statt eines Inertialsystems ein beschleunigtes Bezugssystem benutzt wird, auch als Scheinkraft. Wenn von vornherein kein Sitz vorhanden wäre, verbleibt die Person im Inertialsystem in Ruhe. Im fahrzeugfesten Bezugssystem hingegen würde die Person beschleunigt. Ein Beobachter im fahrzeugfesten System könnte hierfür eine Scheinkraft ${\vec {F}}_{T}=-m\,{\vec {a}}_{B}$ verantwortlich machen. Analog dazu kann auch der freie Fall behandelt werden: Im Inertialsystem liegt die gleichförmige Beschleunigung einer Person durch die Gravitationskraft ${\vec {F}}=m\,{\vec {g}}$ vor. Hingegen wird im frei fallenden Bezugssystem, in dem die Person ruht, zusätzlich die Trägheitskraft ${\vec {F}}_{T}=-m\,{\vec {g}}$ eingeführt, sodass ${\vec {F}}+{\vec {F}}_{T}=0$ gilt.

Für einen stehenden Fahrgast in einer S-Bahn, beispielsweise in einem Triebwagen der DBAG Baureihe 481, die mit 1,3 m/s² beschleunigt, addiert sich zu der nach unten gerichteten Gewichtskraft die nach hinten gerichtete Trägheitskraft, so dass er das Gefühl hat, sich auf einer schiefen Ebene zu befinden, die mit 15 % Steigung nach vorne ansteigt. Um nicht umzukippen, muss er sich festhalten oder sein Gewicht verlagern. Erreicht die S-Bahn ihre Reisegeschwindigkeit, entfällt die Trägheitskraft, und auch der Boden scheint wieder eben zu werden. Der Fahrgast muss dies wiederum ausgleichen, um nicht aus dem Gleichgewicht zu kommen.

Rotierendes Bezugssystem

→ Hauptartikel: Zentrifugalkraft und Corioliskraft

Rotierende Bezugssysteme sind beispielsweise das mit der Drehscheibe eines Karussells mitbewegte System, das mit einem Fahrzeug während einer Kurvenfahrt mitbewegte System oder das mit der Erdoberfläche mitbewegte System. Will man die Bewegung eines Körpers in einem gleichmäßig rotierenden Bezugssystem beschreiben, treten zwei Arten von Trägheitskräften auf.

• Die Flieh- oder Zentrifugalkraft wirkt auf jeden Körper, der sich nicht genau auf der Drehachse des rotierenden Bezugssystems befindet. Sie ist proportional zum Abstand des Körpers von der Drehachse und zum Quadrat der Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems. Sie ist stets nach außen, also von der Drehachse weg gerichtet, und bewirkt, dass ein (relativ zum rotierenden Bezugssystem ruhender) Körper gegen eine äußere Wand gedrückt wird.

• Die Corioliskraft wirkt zusätzlich zur Zentrifugalkraft auf Körper, die sich relativ zu einem rotierenden Bezugssystem bewegen, und ist unabhängig von seinem Ort innerhalb des Systems. Sie ist proportional zur Geschwindigkeit des Körpers (gemessen im rotierenden System), zur Winkelgeschwindigkeit der Rotation und zum Sinus des Winkels zwischen der Bewegungsrichtung und der Drehachse. Sie ist stets senkrecht zur Geschwindigkeit des Körpers (bezogen auf das rotierende System) und senkrecht zur Drehachse gerichtet.

Formeln

Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem

Es sei ein Inertialsystem $S$ und ein relativ dazu mit $a_{B}$ geradlinig beschleunigtes Bezugssystem $S'$ gegeben. Die in den beiden Systemen gemessenen kinematischen Größen stehen auf folgende Weise miteinander in Beziehung:

	S	S'
Ortsvektoren	${\vec {r}}={\vec {r}}{\;'}+{\vec {r}}_{B}$	${\vec {r}}{\;'}={\vec {r}}-{\vec {r}}_{B}$
Geschwindigkeitsvektoren	${\vec {v}}={\vec {v}}{\;'}+{\vec {v}}_{B}$	${\vec {v}}{\;'}={\vec {v}}-{\vec {v}}_{B}$
Beschleunigungsvektoren	${\vec {a}}={\vec {a}}{\;'}+{\vec {a}}_{B}$	${\vec {a}}{\;'}={\vec {a}}-{\vec {a}}_{B}$

Bei der Galilei-Transformation ($a_{B}$ = 0) zwischen zwei Inertialsystemen gelten die newtonschen Gesetze in beiden Inertialsystemen in gleicher Form, sie sind invariant gegenüber der Transformation. Bei der Transformation zu einem beschleunigten Bezugssystem gilt dieses nicht, da zusätzlich die Beschleunigung des Bezugssystems ${\vec {a}}_{B}$ berücksichtigt werden muss. Wird trotzdem ${\vec {F}}{\;'}=m{\vec {a}}{\;'}$ in $S'$ angewendet, ergibt sich aus obigen Beschleunigungen:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}=m{\vec {a}}{\;'}+m{\vec {a}}_{B}$

und

${\vec {F}}{\;'}=m{\vec {a}}{\;'}=m{\vec {a}}-m{\vec {a}}_{B}$

Die Differenz

${\vec {F}}_{T}={\vec {F}}{\;'}-{\vec {F}}=-m{\vec {a}}_{B}$

wird als die in $S'$ berücksichtigte Trägheitskraft oder Scheinkraft bezeichnet, die auftritt weil an Stelle eines Inertialsystems ein beschleunigtes Bezugssystem verwendet wurde. Wird diese Scheinkraft ${\vec {F}}_{T}$ von ${\vec {F}}{\;'}$ wieder abgezogen, erhält man die reale Kraft ${\vec {F}}$.

Rotierendes Bezugssystem

Im Spezialfall, dass $S'$ ein rotierendes Bezugssystem darstellt, dessen Ursprung in $S$ ruht, wird die Trägheitskraft, die in $S'$ auf das Objekt wirkt, durch

${\vec {F}}_{\mathrm {T} }={\vec {F}}_{\mathrm {Coriolis} }+{\vec {F}}_{\mathrm {zentrifugal} }+{\vec {F}}_{\mathrm {Euler} }$

bestimmt, konkret also

${\vec {F}}_{T}=-2m({\vec {\omega }}\times {\vec {v}}{\;'})-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}{\;'})-m{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}{\;'}$,

wobei ${\vec {\omega }}$ die Winkelgeschwindigkeit, ${\vec {v}}'$ die Geschwindigkeit und ${\vec {r}}'$ der Ort des Objektes in $S'$, ist. Der Betrag von ${\vec {r}}'$ ist der Abstand von der Drehachse. Den letzte Ausdruck ${\vec {F}}_{\mathrm {Euler} }$ nennt man Euler-Kraft oder „lineare Beschleunigungskraft“

D'Alembertsche Trägheitskraft

Dynamisches Gleichgewicht

Das zweite newtonsche Gesetz lautet:

${\vec {F}}=m\,{\vec {a}}$

In dieser Form gilt das newtonsche Gesetz nur in einem Inertialsystem. Dies kann umgeschrieben werden in:

${\vec {F}}-m\,{\vec {a}}={\vec {0}}\,$ oder ${\vec {F}}+{\vec {F}}_{T}={\vec {0}}$

Der Term ${\vec {F}}_{T}=-m\,{\vec {a}}$ wird gemäß dem D’Alembertschen Prinzip als Trägheitskraft aufgefasst, die mit der äußeren Kraft ${\vec {F}}$ im Gleichgewicht steht. Allgemein besagt das D'Alembertsche Prinzip, dass im dynamischen Gleichgewicht die Summe aller an einem Körper angreifenden Kräfte gleich Null wird, wenn die Trägheitskräfte mit eingeschlossen werden. Das D'Alembertsche Prinzip ermöglicht somit die Beschreibung des Kräftegleichgewichts von äußeren Kräften und Trägheitskräften in einem mechanischen System. Es erweitert das Prinzip der virtuellen Arbeit von der Statik auf die Dynamik, womit das dynamische Problem zu einem statischen Problem umformuliert wird. Es spielt eine wichtige Rolle in der Technischen Mechanik. Es kann auch als Vorläufer des starken Äquivalenzprinzips verstanden werden, das grundlegend für die Allgemeine Relativitätstheorie ist.

Darstellungen

Gegen dieses Prinzip könnte eingewendet werden, dass es nicht sinnvoll ist, bei einem (bezüglich eines Inertialsystems) beschleunigten Körper von einem statischen Kräftegleichgewicht zu sprechen. Gemäß Cornelius Lanczos kann dieser Einwand auf zwei Arten zurückgewiesen werden: Einerseits ist Bewegung ein relatives Phänomen, und in einem mitbeschleunigten Bezugssystem ist der Körper tatsächlich in Ruhe. Darüber hinaus richtet sich das Prinzip nicht auf die Bewegungen des Körpers, sondern auf Kräfte. Das Gleichgewicht in einem System kann somit ohne Bezugnahme auf den Bewegungszustand des betrachteten Körpers behandelt werden. Da es sich auf virtuelle Arbeit bezieht, ist es gleichermaßen gültig für ruhende und bewegte Körper. Das bedeutet gemäß Lanczos, dass auch in Inertialsystemen von einer „wahren“ D'Alembertschen Trägheitskraft, im Gegensatz zu obigen Darstellungen, gesprochen werden kann. Darüber hinaus ermöglicht es die Beschreibung von Vorgängen in beschleunigten Bezugssystemen. Hier müssen von der Trägheitskraft verursachte zusätzliche Kräfte berücksichtigt werden, welche aus der Bewegung des Bezugssystems folgen. Diese Kräfte können im beschleunigten System allerdings genauso gut als durch äußere Kräfte verursacht gedacht werden. Deswegen werden sie auch als Scheinkräfte bezeichnet.

Im Gegensatz dazu wird in einigen Darstellungen die D'Alembertsche Trägheitskraft ${\vec {F}}_{T}=-m\,{\vec {a}}$ an sich als formale Scheinkraft bezeichnet, um dynamische in statische Probleme umzuwandeln. Als Scheinkraft sei sie im Widerspruch zu actio und reactio, da zu ihr keine Gegenkraft existiert (wohingegen andere Darstellungen die Übereinstimmung beider Prinzipien betonen). Oder sie sei im Widerspruch zum zweiten newtonschen Gesetz, wonach Kräfte die Ursache von entsprechenden Beschleunigungen sind.

Es wird argumentiert, dass äußere Kräfte von anderen Körpern übertragen und die inneren Kräfte letztlich durch äußere Kräfte hervorgerufen werden. Hingegen die Trägheitskraft würde vom Körper selbst entwickelt, sofern er eine Krafteinwirkung eines andren Körpers erfährt. Sie wird deshalb auch „Hilfskraft“ oder „gedachte Kraft“ genannt.

Darüber hinaus wird in einigen Abhandlungen die Auffassung vertreten, dass das D'alembertsche Prinzip ein statisches Kräftegleichgewicht in einem beschleunigten Bezugssystem beschreibt, also die D'alembertsche Trägheitskraft als Scheinkraft im beschleunigten Bezugssystem zu verstehen ist.

Formeln

Beschreibt man die Bewegung in einem beschleunigten Bezugssystem, so muss die Beschleunigung im Inertialsystem durch die Bewegung des Bezugssystems und die Relativbewegung des Objekts im Bezugssystem beschrieben werden. Es sei ${\vec {r}}_{B}$ die Position des Bezugssystems und ${\vec {r}}_{rel}$ die relative Position des Objekt im Bezugssystem, so erhält man:

${\vec {r}}={\vec {r}}_{B}+{\vec {r}}_{rel}$

Die Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit.

${\vec {v}}={\vec {v}}_{B}+{\vec {v}}_{rel}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{rel}$

Dabei ist ${\vec {\omega }}$ die Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems und ${\vec {v}}_{rel}$ die Relativgeschwindigkeit des Objekts im Bezugssystem.

Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Angewendet auf die obige Gleichung erhält man für die Beschleunigung:

${\vec {a}}={\vec {a}}_{B}+2\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rel}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{rel})+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}_{rel}+{\vec {a}}_{rel}$

Hier steht ${\vec {a}}_{rel}$ für die Relativbeschleunigung des Objekts im Bezugssystem und $2\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rel}$ für die Coriolisbeschleunigung, das Produkt ${\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{rel})$ erfasst die Zentrifugalbeschleunigung und ${\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}_{rel}$ die „Euler-Beschleunigung“.

Setzt man den Ausdruck in die Beziehung für die Trägheitskraft ein, so ergibt sich schließlich:

${\vec {F}}_{T}=-m\,\left({\vec {a}}_{B}+2\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rel}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{rel})+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}_{rel}+{\vec {a}}_{rel}\right)$

Unterschiedliche Definitionen

Es liegen unterschiedliche, zum Teil gegensätzliche Definitionen von „Trägheitskräften“ vor. In vielen Lehrbüchern wird die Trägheitskraft ganz im Sinne einer bezugssystemabhängigen Scheinkraft beschrieben. Einige Autoren verbinden dieses Konzept mit dem D'Alembertschen Prinzip, um ein statisches Gleichgewicht in einem beschleunigten Bezugssystem zu beschrieben. Andererseits bezeichnen Autoren wie Lanczos die D'Alembertsche Trägheitskraft ${\vec {F}}_{T}=-m\,{\vec {a}}$ als „wahre Trägheitskraft“, und unterscheiden sie von den zusätzlichen „Scheinkräften“ in beschleunigten Bezugssystemen. Gemäß Müller & Ferber sei der Begriff Scheinkräfte irreführend, da es lediglich ein Ausdruck der Beschleunigung im Sinne der Kinematik sei, und keine Kraft. Dieses „schwammige“ Konzept sei ein Derivat der Trägheitskraft von D'Alembert, wonach letztendlich alles „Statik“ sei. Zu unterschiedlichen Deutungen der Trägheitskräfte, sowohl im beschleunigten Bezugssystem als auch nach D'Alembert, siehe Warren.

In manchen Texten werden Trägheitskräfte und auch das D'Alembertsche Prinzip als die Folge des dritten newtonschen Axioms, actio und reactio, gedeutet. Beispielsweise übt ein Seil eine Zentripetalkraft auf die Kugel aus, sodass diese in eine Kreisbahn gezwungen wird, und umgekehrt zieht auch die Kugel am Seil. Diese Reaktionskraft der Kugel auf das Seil wird manchmal als „reaktive Zentrifugalkraft“ bezeichnet. Andere wenden jedoch ein, dass das nicht mit den in rotierenden Bezugssystemen auftretenden Trägheits- bzw. Scheinkräften verwechselt werden darf. Diese repräsentieren ein scheinbares Kräftegleichgewicht auf einen Körper (nämlich der Kugel), und hängen von der Wahl des Bezugssystems ab. Dagegen stellen Reaktionskräfte im Sinne des dritten Gesetzes eine Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlichen Körpern (Seil und Kugel) dar, die unabhängig von Bezugssystem auftritt. Eine Reaktionskraft zur Scheinkraft ist nicht bekannt.

Gravitationskraft als Trägheitskraft

Siehe auch: Gravitation und allgemeine Relativitätstheorie

Auch die Gravitationskraft hat Eigenschaften von Trägheitskräften: Sie ist proportional zur Masse eines Körpers, hängt nur von dessen Ort ab, ansonsten aber von keinen anderen Eigenschaften des Körpers. Tatsächlich kann man in einem Gravitationsfeld, jedenfalls in einem hinreichend kleinen Raumgebiet, stets von einem ruhenden Bezugsystem zu einem frei fallenden Bezugsystem übergehen, in dem die dann auftretenden Trägheitskräfte die Gravitationskräfte gerade kompensieren. In diesem Bezugsystem müssen somit weder Gravitations- noch Trägheitskräfte betrachtet werden.

Diese Beobachtung lässt sich auch umdeuten, indem man das frei fallende Bezugsystem als Inertialsystem definiert, so dass das ruhende Bezugsystem kein Inertialsystem mehr ist, da es nun relativ zu einem Inertialsystem beschleunigt ist. Die in dem ruhenden System auftretenden Gravitationskräfte können dann als Trägheitskräfte interpretiert werden. Auf dieser Feststellung beruht das Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie. Sie erklärt die Gravitationskraft als eine Erscheinung, die wie eine Trägheitskraft nur in Bezugsystemen auftritt, die keine Inertialsysteme sind.

Für diese Beschreibung der Gravitation muss allerdings das Prinzip fallengelassen werden, dass Inertialsysteme global definiert werden können, also im Prinzip das ganze Universum erfassen, und dass sich diese stets relativ zueinander gleichförmig bewegen. Dies gilt nur noch lokal, also in einem hinreichend kleinen Bereich von Raum und Zeit, und führt außerdem zu dem Schluss, dass Raum und Zeit durch eine vierdimensionale, gekrümmte Mannigfaltigkeit beschrieben werden müssen.

Ebenso wird erklärt, warum ein Fahrgast in einem bremsenden Zug das gleiche Erlebnis hat wie in einem leicht nach vorne gekippten Wagen. Wird ein Wagen nach vorne gekippt, so wirkt die Gravitationskraft nicht mehr senkrecht auf den Boden, sondern (wenn man weiter den Wagen als Bezugsystem verwendet) schräg nach vorne. Um ruhig stehen zu können, muss man sich entsprechend nach hinten neigen oder festhalten. In einem bremsenden Zug ist das genauso. Hier ist es die Summe der Trägheits- und Gravitationskräfte, also der nach unten gerichteten Gravitationskraft und der nach vorne gerichteten Trägheitskraft, die eine schräg nach vorne gerichtete Gesamtkraft ergeben. Fasst man die Gravitationskraft auch als Trägheitskraft auf, ist die Erklärung in beiden Fällen die gleiche.

Literatur

• Lev D. Landau, E. M. Lifschitz, Paul Ziesche: Lehrbuch der theoretischen Physik: Mechanik. Harri Deutsch Verlag, 1997, ISBN 978-3-8171-1326-2 (google.com). , S. 155 ff.

Weblinks

• Trägheitssatz im beschleunigten Bezugssystem? (Schülerniveau, bei leifiphysik)
• Isaac Newton (Übersetzung V. Schüller): Die mathematischen Prinzipien der Physik: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Gruyter, 1999, ISBN 978-3-11-016105-2 (Definition III in der Google-Buchsuche).