Madelunggleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881-1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.

Ersetzt man dort die komplexe Funktion $\psi$ durch ihren Betrag $\rho$ und ihre Phase S, gemäss $\psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {i}{\hbar }}S}$ erhält man die Madelunggleichungen:

$\partial _{t}\rho +{\frac {1}{m}}\nabla (\rho S)=0$

$\partial _{t}S+{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+V(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=0$

Die erste hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

S interpretiert man als Wirkung, $\nabla S$ als Impuls.

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen allerdings schwierig zu handhaben, zeigen aber andersherum, dass sich nichtlineare Gleichungen auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.

Weblinks

Biografie Madelung