Bijektive Funktion

In der Mathematik heißt eine Funktion bijektiv (engl.: bijective oder one-to-one and onto), wenn sie injektiv und surjektiv ist. Das heißt, dass sie verschiedenen Elementen der Definitionsmenge verschiedene Elemente der Wertemenge zuordnet, wobei alle Elemente der Wertemenge durch diese Zuordnung auch erfasst werden. Man nennt die Funktion dann eine Bijektion.

[[Bild::ontoMap.png]] Surjektiv, nicht injektiv	[[Bild::mathmap.png]] Injektiv, nicht surjektiv
[[Bild::bijMap.png]] Bijektiv	[[Bild::mathmap2.png]] weder surjektiv, noch injektiv

Das bedeutet weiter, dass die "Anzahl der Elemente" der Definitionsmenge und der Wertemenge gleich groß sein muss (mit Hilfe von Bijektionen wird der Begriff der Gleichmächtigkeit definiert).

Eine bijektive Funktion ist umkehrbar.

Eine bijektive Funktion ist als Relation linkstotal, rechtstotal, linkseindeutig und rechtseindeutig.

Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, dann ist eine injektive Abbildung von A nach B bereits bijektiv, ebenso ist eine surjektive Abbildung schon bijektiv. Für unendliche Mengen muss das nicht gelten. Unendliche Mengen können z.B. injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge in sich selbst, die nicht injektiv sind.

Solche Überraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben.

Siehe auch: Surjektivität, Injektivität