Heun-Verfahren

Das Heun-Verfahren ist ein einfaches Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben. Es ist ein Einschrittverfahren und gehört zu der Klasse der Runge-Kutta-Verfahren.

Im Gegensatz zum Expliziten Euler-Verfahren erfolgt die Näherung über ein Trapez und nicht über ein Rechteck.

Verfahren

Zur numerischen Lösung des Anfangswert-Problems:

${\dot {x}}=f(t,x),\quad \quad x(t_{0})=x_{0}$

für eine gewöhnliche Differentialgleichung mit dem Verfahren von Heun wähle man eine Diskretisierungs-Schrittweite $h>0$, betrachte die diskreten Zeitpunkte

$t_{k}=t_{0}+kh,\quad \quad k=1,2,\dots$

und berechne zunächst analog zum expliziten Euler-Verfahren

$x_{k+1}^{[P]}=x_{k}+hf(t_{k},x_{k})\quad ,\quad k=1,2,\dots$

und dann

$x_{k+1}=x_{k}+{\frac {1}{2}}h(f(t_{k},x_{k})+f(t_{k+1},x_{k+1}^{[P]}))\quad ,\quad k=1,2,\dots$

Die $x_{i}$ sind die Näherungswerte der tatsächlichen Funktion.

$h$ bezeichnet man als Schrittweite; Verkleinert man die Schrittweite so wird der Verfahrensfehler kleiner (sprich der die $x_{i}$ liegen näher an der tatsächlichen Funktion). Der globale Fehler des Verfahren von Heun geht mit $h^{2}$ gegen Null man spricht auch von Konvergenzordnung 2.

Ähnliche Einschrittverfahren

• Explizites Euler-Verfahren (Eulersches_Polygonzugverfahren)
• Implizites Euler-Verfahren
• Runge-Kutta-Verfahren
• Klassisches_Runge-Kutta-Verfahren

Weblinks

• Erklärung der unterschiedlichen Verfahren mit Bildchen