Quadratische Gleichung

Unter einer Quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung mit einer Unbekannten, die nur positive ganze Exponenten hat und deren höchster Exponent 2 ist.
Beispiel: -4·x² + 12·x + 30 = -10

Die Lösung von Quadratischen Gleichungen ist unter Quadratische Ergänzung beschrieben. Quadratische Gleichungen haben immer zwei Wurzeln (Lösungen), die aber auch identisch oder komplex sein können. Lässt man nur reelle Lösungen zu, kann eine quadratische Gleichung auch unlösbar sein.

Aussagen über die Wurzeln

Liegt eine quadratische Gleichung in Normalform vor, d. h. ist ihre rechte Seite gleich Null und die Zahl vor dem x² gleich Eins bzw. nicht vorhanden, so wird das Glied mit dem x² als quadratisches Glied, das Glied mit dem x als lineares Glied und das Glied ohne x als absolutes Glied bezeichnet.

• Satzgruppe von Vietá
  • Das absolute Glied ist dann gleich dem Produkt ihrer beiden Wurzeln.
  • Das lineare Glied ist gleich der Summe der beiden Wurzeln mit verkehrtem Vorzeichen.
  • Sind x₁ und x₂ die Wurzeln der Gleichung, dann gilt (x-x₁)(x-x₂)=0
• Ist das absolute Glied positiv, so haben beide Wurzeln gleiches Vorzeichen, sonst verschiedenes Vorzeichen:
  • Ist das lineare Glied negativ, sind beide Wurzeln positiv;
  • ist dagegen das lineare Glied positiv, sind beide Wurzeln negativ.
• Ist das lineare Glied mit einem Minuszeichen versehen, so hat die betragsmäßig größere Wurzel ein positives Vorzeichen (und umgekehrt).
• Ist das absolute Glied größer als das Quadrat der Hälfte des linearen Gliedes, so hat die Gleichung keine reellen Wurzeln.

Beispiele

x² + 12·x + 20	=0	Beide Wurzeln sind negativ: -2 und -10
x² - 12·x + 35	=0	Beide Wurzeln sind positiv: +7 und +5
x² + 12·x + 37	=0	Es gibt keine reellen Wurzeln, weil das Quadrat der Hälfte von 12 36 ist, also kleiner als 37.
x² + 2·x - 35	=0	Die Wurzeln haben unterschiedliches Vorzeichen: -7 und +5

Lösungsformeln

Es gibt zwei allegeine Lösungsformeln für quadratische Gleichungen:
Jede normierte quadratische Gleichung $x^{2}+px+q=0$ hat die Lösungen ${}_{1}x_{2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$ (Kleine Lösungsformel).
Jede allgemeine quadratische Gleichung $ax^{2}+bx+c=0$ ($a\neq 0$) hat die Lösungen ${}_{1}x_{2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$. (Große Lösungsformel)

Der Ausdruck unter der Wurzel (die Diskriminante D) bestimmt wie viele reele Lösungen die Gleichung hat:

• D > 0: 2 reelle Lösungen
• D = 0: 1 reelle Doppellösung
• D < 0: keine reelle Lösung