Binomische Formeln

Die Binomischen Formeln sind in der Algebra verbreitete Formeln zur Darstellung und zum Lösen von Quadrat-Binomen.

Formeln

$(a+b)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$

$(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}$

Die Begründung der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen:

$\mathbf {(a+b)^{2}} =(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=\mathbf {a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}$

$\mathbf {(a-b)^{2}} =(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=\mathbf {a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}$

$\mathbf {(a+b)\cdot (a-b)} =a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=\mathbf {a^{2}-b^{2}}$

Diese Formeln, häufig in der Mathematik benutzt, bieten auch eine Hilfe beim Kopfrechnen. Das Quadrat einer Zahl zwischen 10 und 100 läßt sich oft einfach mit der binomischen Formel bestimmen. Beispielsweise ist

$37^{2}=30^{2}+2\cdot 30\cdot 7+7^{2}=1369$

oder ausührlich

$37^{2}=37\cdot 37=30\cdot 30+30\cdot 7+7\cdot 30+7\cdot 7=30^{2}+2\cdot 30\cdot 7+7^{2}=900+420+49=1369$

Veranschaulichung

Nebenstehendes mehrfarbiges Quadrat hat die Seitenlänge (a+b). Wie sofort ersichtlich ist, passen zwei kleinere Quadrate a² und b² hinein, und es bleiben zwei Rechtecke mit gleicher Fläche a·b übrig.

Im zweiten Bild ist a² das blau umrahmte Quadrat. Soll daraus ein Quadrat der Seitenlänge (a-b) erzeugt werden, wird zuerst die rot umrahmte Fläche a·b abgezogen. Eine ebenso große liegende Fläche kann erst abgezogen werden, wenn zuvor das kleine Quadrat b² addiert wird.