Brennweite

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Die Brennweite $f$ ist in der Optik der Abstand des Brennpunkts (Fokus) von der ihm zugeordneten Hauptebene einer Linse, eines Hohlspiegels oder allgemeiner eines Objektivs. Die Brennweite einer dünnen Linse ist in guter Näherung der Abstand des Brennpunkts von der Linsenoberfläche.

Die Brennweite ist, wie die dünne Linse selbst, ein Konzept der paraxialen Optik. Für reale Optiken oder achsenferne Strahlen ergeben sich Abbildungsfehler im Rahmen der geometrischen Optik.

Bei Sammellinsen und Hohlspiegeln ist die Brennweite als positiver Wert, bei Zerstreuungslinsen und Konvexspiegeln als negativer Wert definiert. Betragsmäßig große Brennweiten entstehen durch flache, schwach gewölbte Oberflächen und umgekehrt. Die Stärke einer Linse, fachsprachlich Brechkraft genannt, ist der Kehrwert ihrer Brennweite (mit Vorzeichen) und wird in Dioptrien angegeben.

In der Fotografie bestimmt die Brennweite zusammen mit dem Aufnahmeformat den Bildwinkel (siehe auch Formatfaktor), mit der Apertur die Lichtstärke und mit der Gegenstandsweite den Abbildungsmaßstab. Letzteres gilt auch für das Zwischenbild beim Mikroskop. Bei Fernrohren und Ferngläsern bestimmen die Brennweiten von Objektiv und Okular zusammen die Vergrößerung und mit der Apertur die Größe der Austrittspupille.

Brechkraft

Die Formeln der paraxialen Optik werden übersichtlicher, wenn der Kehrwert der Brennweite, die Brechkraft

$D={\frac {1}{f}}$

verwendet wird. Zahlenwerte der Brechkraft (Brechwert), z. B. für Brillengläser, werden in der Einheit Dioptrie angegeben, 1 dpt = 1/m.

Zum Beispiel entspricht einer Brechkraft von 2 dpt eine Brennweite von 0,5 m. Ein afokales Linsensystem hat keine Brechkraft, also eine unendliche Brennweite.

Nach einer alternativen Definition ist die Brechkraft die Änderung der Krümmung einer Wellenfront, ihrer Vergenz, beim Durchgang durch das optische Element. Als unmittelbare Anwendung ergibt sich die Brechkraft eines Hohlspiegels mit Radius R: Für eine aus dem Krümmungsmittelpunkt auslaufende Welle ist die Vergenz beim Auftreffen auf den Spiegel −1/R (negativ, weil divergent), nach der Reflexion dagegen +1/R (konvergent). Die Änderung ist D = +2/R, die Brennweite also R/2.

Für Linsen ist die Brechkraft weniger offensichtlich und hängt vom Brechungsindex sowohl der Linse als auch der angrenzenden Medien ab. Sie ist deshalb auch wellenlängenabhängig. Für Formeln, auch für Linsenkombinationen, siehe Linse.

Bezeichnungen an der Linse (ohne Hauptebenen)

Herleitung der Abbildungsgleichung über die Brechkraft

Ein von einem Gegenstand im Abstand g ausgehendes Strahlenbündel hat am Ort der eingangsseitigen Hauptebene eine Vergenz von −1/g, zu der das Bauelement 1/f hinzufügt, sodass sich am Ort der ausgangsseitigen Hauptebene die Vergenz

${\frac {1}{b}}=-{\frac {1}{g}}+{\frac {1}{f}}$

ergibt. Falls positiv, wenn also wie im nebenstehenden Bild die Gegenstandsweite g größer ist als die Brennweite, so konvergiert das Bündel zu einem Bildpunkt im Abstand b.

Obige Gleichung, leicht umgestellt, ist die Linsengleichung.

Messung der Brennweite

Im einfachsten Fall einer Abbildung durch eine Sammellinse trifft parallel einfallendes Licht auf die Linse und wird dann hinter ihr genau in der Brennweite fokussiert. Praktisch kann man beispielsweise eine Brille in direktes Sonnenlicht halten und es durch Verschieben der Brille auf eine vorher schon direkt beschienene Fläche fokussieren. Achtung, dabei kann man ungewollt einen Brand auslösen, also Vorsicht. Der Abstand von der Brille zu dieser Fläche ergibt dann exakt die Brennweite. Die Brechkraft in Dioptrien erhält man, indem man den Reziprokwert der in Metern angegebenen Brennweite berechnet.

Statt des direkten Sonnenlichts können auch weiter entfernt liegende, beschienene Gegenstände wie Bäume oder Gebäude benutzt werden, von denen die Lichtstrahlen für die erwartete Messgenauigkeit ausreichend parallel eintreffen. Dann muss in der Regel aber in der Bildebene eine ebene, weiße Fläche vorhanden sein, damit man das Bild des Gegenstands wirklich in seiner Schärfe beurteilen kann.

Für genauere Messungen wird es kritisch, was für ein Abstand dabei genau gemessen wird. Es ist bei realen, dünnen Linsen der Abstand von der Hauptebene zum Bildpunkt. Bei solchen dünnen Linsen kann man mit ausreichender Genauigkeit die Hauptebene mit der Mittelebene der Linsen identifizieren. Bei dicken Linsen ist dieser einfache Ansatz nicht mehr genau genug. Bei einem mehrlinsigen Objektiv ist der Fehler 1/g in der Brechkraft vernachlässigbar gegenüber der Unsicherheit über die Lage der Hauptebene. Dann kann das Abschätzen der Bildgröße genauere Ergebnisse liefern. Das entspricht bei einem Teleskop der Messung der Driftgeschwindigkeit des Bildes aufgrund der Erdrotation.

Die direkte Anwendung der Linsengleichung zur Bestimmung der Brennweite setzt demnach voraus, dass die Lage der Hauptebenen bekannt ist, etwa bei dünnen Linsen. Dasselbe gilt für das Autokollimations- und das Bessel-Verfahren. Das Abbe-Verfahren liefert neben der Brennweite auch die Lage Hauptebenen.

Brillenoptiker bestimmen die über die Fläche variierende Brechkraft von Gleitsichtgläsern durch Wellenfrontanalyse, meist mit einem Hartmann-Shack-Sensor. Die automatisierten Geräte heißen aus historischen Gründen Scheitelbrechwertmesser.

Berechnung der Brennweite

Linsensysteme

Zur Herleitung der Brennweite eines Linsensystems aus zwei dünnen Linsen. Die Brennweiten der Linsen werden immer von der Mittelebene der Linse gezählt. Dagegen werden die Brennweiten F und F' des Systems von den Hauptebenen gezählt.

Die Brennweite $F$ eines Systems aus zwei dünnen Linsen der Brennweite $f_{1}$ bzw. $f_{2}$ im Abstand $d$ (zwischen den einander zugewandten Hauptebenen der beiden Linsen) beträgt

${\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}-{\frac {d}{f_{1}f_{2}}}\,.$

Die gegenstandsseitige Brennweite $F$ und die bildseitige Brennweite $F'$ des Linsensystems beziehen sich auf die jeweilige Hauptebenen des Linsensystems $H,H'$. Zur Konstruktion dieser siehe im Artikel Hauptebene.

Zur Herleitung der obigen Formel siehe die nebenstehende Abbildung:

Anwendung des Strahlensatzes auf die vom Punkt $P$ ausgehenden Strahlen (rot) ergibt:

${\frac {\overline {F'_{1}F_{2}}}{d}}={\frac {|f_{1}|}{z}}\Leftrightarrow {\frac {d-|f_{1}|-|f_{2}|}{d}}={\frac {|f_{1}|}{z}}\,,$

also $z={\frac {|f_{1}|d}{d-|f_{1}|-|f_{2}|}}\,$.

Ausgehend von den blauen Strahlen aus $P_{1}$ ergibt sich:

${\frac {z-|f|}{z}}={\frac {d-|f_{2}|}{d}}\,,$

also $f=|f_{2}|{\frac {z}{d}}\,,$ zusammen $f={\frac {|f_{1}||f_{2}|}{d-|f_{1}|-|f_{2}|}}\,$. Umgestellt ergibt sich:

${\frac {1}{|f|}}=-{\frac {1}{|f_{1}|}}-{\frac {1}{|f_{2}|}}+{\frac {d}{|f_{1}||f_{2}|}}\,$.

Wie man der Abbildung entnehmen kann, ist der gegenstandsseitige Brennpunkt $F$ rechts von seiner Hauptebene, was einer negativen Brennweite entspricht (wie im Falle einer Zerstreuungslinse). Um die Betragsstriche weglassen zu können und der Konvention von positiven Brennweiten zu entsprechen, muss im Falle gegenstandsseitiger Brennweiten $f\to -f$ gesetzt werden.

${\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}-{\frac {d}{f_{1}f_{2}}}$.

Die bildseitige Brennweite $f'$ ergibt sich aus einer ähnlichen Überlegung, nur dass $f_{1}$ und $f_{2}$ vertauscht werden müssen. Da obige Formel sich unter der Vertauschung nicht ändert, gilt die Formel auch für $f'$. Es ist also $f=f'$.

Gilt $d\ll f_{1},f_{2}$ (nahe benachbarte Linsen), so kann man $d$ vernachlässigen und erhält das reziproke Additionsgesetz:

${\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}\,.$

Alle Brennweiten sind in den letzten beiden Formeln als positive Werte einzusetzen.

Dicke Linse

Verschiedene Linsentypen, jeweils mit Vorzeichen der Krümmungsradien und Lage der Hauptebenen.

Eine dicke Linse kann man sich aus zwei dünnen Linsen zusammengesetzt denken. Anstatt Luft $(n=1)$ befindet sich zwischen beiden Linsenmaterial $(n_{\mathrm {Linse} })$. Man kann wie bei Systemen aus zwei Linsen vorgehen, nur muss man die Längen innerhalb der dicken Linse um den Brechungsindex $n_{\mathrm {Linse} }$ verkürzen:

${\frac {1}{f}}={\frac {n_{\mathrm {Linse} }}{f_{1}}}+{\frac {n_{\mathrm {Linse} }}{f_{2}}}-{\frac {n_{\mathrm {Linse} }d}{f_{1}f_{2}}}$.

Die Brennweiten $f_{2}$ und $f_{1}$ ergeben sich aus den Krümmungen $r_{1},r_{2}$ und dem Brechungsindex (siehe dünne Linse):

$f_{1}=r_{1}{\frac {n_{\mathrm {Linse} }}{n_{\mathrm {Linse} }-1}}$

$f_{2}=-r_{2}{\frac {n_{\mathrm {Linse} }}{n_{\mathrm {Linse} }-1}}$.

Hier wird die Brennweite einer bikonvexen Linse (Nr. 1 in nebenstehender Abbildung) berechnet und die Krümmungsradien sind beide als positive Zahlen einzusetzen. Aber um zu berücksichtigen, dass die Krümmung der 2. Grenzfläche der 1. entgegengesetzt ist, wird das Minuszeichen bei der Formel für $f_{2}$ eingeführt. Es folgt die Linsenschleiferformel:

${\frac {1}{f}}={\frac {n_{\mathrm {Linse} }-1}{r_{1}}}-{\frac {n_{\mathrm {Linse} }-1}{r_{2}}}+{\frac {d(n_{\mathrm {Linse} }-1)^{2}}{n_{\mathrm {Linse} }r_{1}r_{2}}}=(n_{\mathrm {Linse} }-1)\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {d(n_{\mathrm {Linse} }-1)}{n_{\mathrm {Linse} }r_{1}r_{2}}}\right)$.

Literatur

• Max Born: Optik, 1972, ISBN 3-540-05954-7 (2. Kapitel).
• Fritz Hodam: Technische Optik. 1967.