Diskussion:Grenzwert (Folge)

Die von Benutzer:80.171.117.150 vorgenommene Änderung des Einleitungssatzes war mMn nach nicht erforderlich, da die alte Definition richtig war. So wie es vorher da stand, müssen zu jeder Umgebung 'ab einem bestimmten Index' alle Folgenglieder in der Umgebung liegen. Wenn es zu einer bestimmten Umgebung endlich viele gibt, die nicht darin liegen, dann findet man eben einen späteren Index, ab dem doch alle drin liegen. Der Index ist abhängig von der gewählten Umgebung. --Doodee 14:24, 4. Dez 2004 (CET)

Inhaltsgleich mit Konvergenz (Mathematik)

Fast inhaltsgleich mit Limes (Mathematik) --qwqch 21:39, 8. Feb 2005 (CET)

Höchstens zusammenführen, mal drüber nachdenken. Deine Bilder halte ich übrigens für nicht hilfreich: konvergente und divergente Funktion sind keine stehenden Begriffe und die Bilder zeigen auch nichts, was großartig mit dem Artikel zu tun hat. Viele Gruesse --DaTroll 11:16, 9. Feb 2005 (CET)

"konvergente und divergente Funktion sind keine stehenden Begriffe und die Bilder zeigen auch nichts, was großartig mit dem Artikel zu tun hat." Ja wie? also kovergent und divergent bezogen auf Funktionen sind ja wohl absolut "stehende Begriffe", die werden sogar im Artikel selbst benutzt. Und der Artikel eißt ja wohl Konvergenz (Mathematik) , also was könnte mehr mit dem Artikel zu tun haben als konvergente und nicht konvergente Beispiele zu illustrieren? Weis echt nicht was du meinst. Gruß --qwqch 14:38, 10. Feb 2005 (CET)

Nein, die Begriffe stehen nicht im Artikel. Und ich habe sie in Deinen Abbildungen das allererste mal gelesen. Im Artikel stehen konvergente und divergente Folgen (auch funktionenfolgen), aber nicht konvergente und divergente Funktionen. Viele Gruesse --DaTroll 20:20, 10. Feb 2005 (CET)

Ja, ein Abgleich der beiden Artikel waere noetig. Was soll in "Konvergenz" beschrieben werden, was in "Limes"? Die beiden Begriffe sind ja sehr eng gekoppelt: Eine Folge konvergiert, wenn ein Limes existiert. Mit anderen Worten lautet meine Frage: Gibt es etwas ueber Grenzwerte zu berichten, das mit Konvergenz nichts zu tun hat, oder umgekehrt? Wenn nicht, dann sollten die Artikel zusammengefuehrt werden.

Die Bilder mit den Funktionen wuerden mit einer Erklaerung (wo konvergieren/divergieren die Fkt?) im Konvergenz-Artikel hilfreich sein. Fuer Konvergenz von Folgen braeuchte man andere Bilder. --SirJective 12:50, 10. Feb 2005 (CET)

Also ich halte es unbedingt für sinnvoll, zwei Artikel zu haben. Der längere wird wohl der hier, mit allem was einem so zur Konvergenz einfällt (schwach, absolut, wasauchimmer). Im Grenzwert-Artikel Grenzwerte von Folgen, dann kontinuierliche Grenzwerte und vor allem Geschichte, die man da IMHO viel besser plazieren kann. Viele Gruesse --DaTroll 10:01, 14. Feb 2005 (CET)

Ich wuerde Konvergenz ausschliesslich im Zusammenhang mit Folgen/Reihen verwenden, nicht mit Funktionen (damit meine ich lim f(x), nicht Funktionenfolgen lim f_n).--Gunther 00:14, 26. Feb 2005 (CET)

Und wie wäre es mit je einem artikel für "Konvergenz von Folgen" und "Grenzwert von Funktionen" statt einem über "Konvergenz" und einem über den "Grenzwert"? --W!B: 19:51, 15. Okt 2005 (CEST)

Systematik

Nach rechts ist der Zielraum aufgetragen, nach unten der Argumentraum. In den Zellen stehen jeweils Stichworte, die mir zu den Kombinationen eingefallen sind.

	$\mathbb {R}$	metrischer Raum	topologischer Raum
$n\to \infty$	monoton und beschränkt	$\varepsilon ,n_{0}$	Abzählbarkeitsprobleme
$x\to \infty$	Asymptoten	unwichtig
$x\to x_{0}$ in $\mathbb {R}$ oder metrischem Raum	$\varepsilon ,\delta$; Folgendefinition		unwichtig
$x\to x_{0}$ in topologischem Raum	Stetigkeit (Topologie)

Mir scheint deshalb folgende Aufteilung sinnvoll:

• Grenzwert (Folge) in (vollständigen) metrischen Räumen; weitgehend elementar
• Konvergenz von Reihen wegen Kriterien separat
• Grenzwert (Funktion) für die metrischen Räume inkl. $\infty$
• Grenzwert (Topologie) für den allgemeinen Fall, auch Folgen und Netze

(Ich halte "Grenzwert" für den fundamentalen Begriff und nicht "Konvergenz"; und "Limes" finde ich übertrieben.) Ein Problem bei dieser Aufteilung wäre, wenn jemand schwache Konvergenz ohne die schwache Topologie erklären will, das müsste dann in einen separaten Artikel. Ansonsten Verbesserungsvorschläge? Habe ich etwas übersehen?-- Gunther 16:09, 7. Apr 2005 (CEST)

• finde eine aufteilung sinnvoll, vor allem find ich es ungeschickt, im artikel zu "limes" den limes von funktionen VOR dem limes von folgen zu erklären, da der funktionen-limes auch über

den folgen-limes definiert bzw. angegeben werden kann als alternative zur epsilon-delta-regel.

ich wäre dafür, einmal allgemein zu erklären, was mit konvergenz gemeint ist. (anschaulich

mit dem "immer näher kommen", dann exakt durch norm und epsilon und so) dann verweise auf spezialgebiete, z.b. unendliche reihen. bei folgen ist doch sicher auch noch mal die konvergenz von folgen erklärt?

trotzdem sollte ein artikel mit dem namen "grenzwert" weiter existieren, da sicher häufig genau danach gesucht wird. möglicherweise redirekt auf "konvergent" dann?

Bedingte Konvergenz

Könnte dann mal jemand darüber etwas sinnvolles sagen im Gegensatz zu absoluter Konvergenz. Oder was ist das für eine Konvergenz bei der alternierenden harmonischen Reihe? Diese Art der Konvergenz stellt doch wohl den Löwenanteil an Grenzwerten. Ansonsten verwirrt mich der falsche Hinweis auf Zenons gelöste Paradoxien. Man kann aus einem Kreis zwei machen. Da ist nichts zu lösen. Zu oben: Abzählbarkeitsproblem: Haben die etwas mit Wohlanordnung, Auswahlaxiom, Kontinuum zu tun? Dann geht es doch so oder auch anders. --Roomsixhu 23:27, 21. Sep 2005 (CEST)

1. Siehe absolute Konvergenz unter "Eigenschaften". 2. Zenon habe ich rausgeworfen. 3. In Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, impliziert Folgenkonvergenz nicht Konvergenz, d.h.: Ist $f$ eine Funktion, so kann es sein, dass der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ nicht existiert, aber für jede Folge $x_{n}\to x_{0}$ der Limes $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})$ existiert. (Standardbeispiel: Ist $\varepsilon _{0}$ die kleinste überabzählbare Ordinalzahl, dann ist $X=[0,\varepsilon _{0}]$ mit der Ordnungstopologie so ein Raum. Setze beispielsweise $f(x)={\begin{cases}1&x=\varepsilon _{0}\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}$ und $x_{0}=\varepsilon _{0}$.)--Gunther 23:48, 21. Sep 2005 (CEST)

Prompte Antwort! Das meinte ich (Unter Eigenschaften, das zweite). Hat das dann auch einen eigenen Namen? Zum Abzählbarkeitsaxiom

Ich habe auch schon mal so einen Gedankengang nachvollzogen, aber nicht in genau diesem Zusammenhang. Sich eines Grenzwertes zu versichern, las ich auch mal in anderem Zusammenhang. Schlage ich mal nach. Ansonsten ist Zahl doch auch ein philosphisches Problem.--Roomsixhu 00:18, 22. Sep 2005 (CEST)

Ähm, das hast Du doch schon in die Überschrift geschrieben: "bedingte Konvergenz".--Gunther 00:21, 22. Sep 2005 (CEST)

Verstehe ich nicht, wieso Du Zenon rausgeworfen hast? Als Anmerkung gehört das doch genau hierhin? --DaTroll 08:56, 22. Sep 2005 (CEST)

Nein, der Konvergenzbegriff hilft beim Verständnis der Paradoxa nicht. Dass Achilles der Schildkröte "beliebig nahe" kommt (also $\forall \varepsilon \exists n_{0}$) oder dass die betrachteten Zeitpunkte dem Zeitpunkt des Überholens beliebig nahe kommen, war Zenon vermutlich auch klar. Unendlich viele Weg- oder Zeitabschnitte können aber auch Mathematiker nicht addieren.--Gunther 09:52, 22. Sep 2005 (CEST)

Das glaube ich nicht. Dann könnte man ja die Zahlwerte, die bedingt konvergente Reihen darstellen nicht addieren. Aber gerade der Mathematiker addiert beliebige Zahlgrößen. Die Art ihrer Entstehung hindert den Mathematiker nicht damit umzugehen, zu addieren, denn das geht ja immer gleich.. Vielleicht weiß der Mathematiker auch gar nicht, was der Begriff Zahl ist.--Roomsixhu 10:12, 23. Sep 2005 (CEST)

Dass eine unendliche Reihe einen "Wert" hat, ist eine Grenzwertaussage, also eine Aussage über das Verhalten der Folge der endlichen Teilsummen. Mehr nicht.--Gunther 10:26, 23. Sep 2005 (CEST)

Gleichheit von Werten für Zahlgrößen zu zeigen ist nicht so trivial.

• Weierstraß mußte für bedingt konvergente Reihen eine Vergleichsreihe einführen. Damit ging aber sein gesamter gegenständlicher Ansatz aufbauend auf dem Zählen verloren.
• Mengenlehre hat keinen zählenden Ansatz sondern einen schon gerechneten der Relationen, und Zählen ist darin sehr schierig oder zweideutig.
• Cauchy beweist die Grundrechenarten jeweils für Werte und Zahlgrößen gesondert.

Unbestimmte Zahlen oder Zahlgrößen kann man sich auf zwei Arten bilden: "Das Zählen, und damit der Zahlbegriff, beruht darauf, daß sich der menschliche Geist Vorstellungen von Dingen bilden kann und daß er solche Vorstellungen wiederholt zu reproduzieren vermag. Es sind also zweierlei geistige Operationen möglich:

1. Die Reproduktion einer Vorstellung eines Dinges,
2. aus einem gegebenen Aggregat von Dingen die Vorstellung verschiedener, die unter denselben Begriff fallen, aufnehmen."

"Der Wert einer Zahlgröße ist deren nicht näher erklärte Bedeutung. Das mathematische Problem ist festzustellen, wann zwei solche Werte gleich sind." (D.Spalt). Ich verstehe das so, sind a und b zwei bedingt konvergente Reihen mit gleichem Grenzwert, wie zeigt man das?--Roomsixhu 22:09, 2. Okt 2005 (CEST)

Dürfen Mathematiker heutzutage noch guten Gewissens zählen, falls sie wissen, was das ist, oder können sie nur rechnen? ;-) --Roomsixhu 16:22, 24. Sep 2005 (CEST)

OK, das ist natuerlich ein Punkt, allerdings war das die Keimzelle des Geschichtsabschnitts :-) Ich habe Zenon durch Cauchy ersetzt. --DaTroll 10:14, 22. Sep 2005 (CEST)

Natürlich habe ich das in die Überschrift geschrieben, aber warum steht es in der ganzen Wikipedia nicht? Da war ich etwas verunsichert. Und da ich es nicht richtig erklären kann, bleibt mir die Frage: Sind bedingt konvergente Reihen irgendwie gechlossen handhabbar oder darstellbar und gibt es dort auch Kriterien? Majoranten- und Minoranenkriterium oder sowas. Oder ist das schon alles Topologie?--Roomsixhu 09:28, 22. Sep 2005 (CEST)

Mir ist nur das Leibnizkriterium bekannt (und natürlich die Kriterien, die absolute Konvergenz implizieren wie Quotienten- oder Wurzelkriterium).--Gunther 10:26, 22. Sep 2005 (CEST)