Die Borelsche σ-Algebra, benannt nach Emile Borel, bildet in der Mathematik ein Scharnier zwischen Topologie und Maßtheorie.
Für einen gegebenen topologischen Raum Ω ist die Borelsche σ-Algebra definiert als die kleinste σ-Algebra, die die Topologie von Ω enthält.
Vokabelerklärung:
- Eine Topologie einer Grundmenge Ω ist eine Menge von Teilmengen, die die Grundmenge und die leere Menge enthält und die bezüglich abzählbarer Vereinigung und Schnittmengenbildung abgeschlossen ist. Die Elemente der Topologie heißen offene Mengen; eine Grundmenge, auf der eine Topologie erklärt ist, heißt topologischer Raum.
- Eine σ-Algebra einer Grundmenge Ω ist eine Menge von Teilmengen, die die Grundmenge enthält und die bezüglich Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung abgeschlossen ist. Eine Grundmenge, auf der eine σ-Algebra erklärt ist, heißt auch Messraum.
Eine Borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines Messraums auszustatten; im Hinblick auf diese Struktur heißt der Raum dann auch Borel-Raum.
Ein besonders wichtiges Beispiel ist die Borelsche σ-Algebra auf der Menge R der reellen Zahlen. Die kanonische Topologie des R wird von den offenen Intervallen (a,b) aufgespannt. Die Borelsche σ-Algebra des R enthält (aufgrund der Abgeschlossenheit einer σ-Algebra bezüglich der Komplementbildung) außer den offenen auch die geschlossenen Intervalle.
- Die Borelsche σ-Algebra des R enthält nicht alle Teilmengen des R. Das zeigt man, indem man den R in überabzählbar viele Teilmengen (Vitali-Mengen) zerlegt; diese lassen sich nicht durch abzählbare Vereinigung, Schnittmengenbildung und Komplementbildung aus den offenen Intervallen des R erzeugen. Siehe dazu Vitali-Menge, Hausdorff-Paradoxon, Banach-Tarski-Paradoxon.
Die Borelsche σ-Algebra des R liegt dem Borel-Maß zugrunde.