Diskussion:Differential (Mathematik)

Gehen hier nicht die Begriffe Differenz und Differential durcheinander? Mir fehlt da ein lim, dann allerdings wäre die Schrittweite fehl am Platze. (Sollte das jemand ändern, entferne er diesen Artikel bitte von der Liste der Artikel, die Aufmerksamkeit benötigen.
NB: Es fehlt noch die Oma-Meyer&Schüler_Kurt-Einleitung. --Mikue 09:01, 10. Feb 2004 (CET)

Ist schon lange her, dass ich AnaII hatte, daher ist meine Aussage vielleicht nicht ganz richtig:

Auf [1] steht etwas zum hier beschriebenen Differential-Begriff: Anscheinend handelt es sich um die x-Änderung und die zugehörige y-Änderung eines Differenzenquotienten, da steht aber auch noch was von der y-Änderung der Tangente... ?!

Auf [2] steht etwas zum totalen Differential, das Thema gehört sicherlich auch in diesen Artikel. --SirJective 11:28, 14. Feb 2004 (CET)

Behauptung: Differentiale gibt es in der Mathematik nicht. Es gibt Differentialformen. Wer etwas anderes behauptet, möge bitte dx definieren. Der Artikel sollte sich auf den historischen Begriff beschränken (also so mit unendlich kleinen Zahlen und sowas, meinetwegen auch Nichtstandard-Analysis).--Gunther 00:27, 28. Feb 2005 (CET)

Ich finde den Artikel fürchterlich, habe mich aber noch nicht rangetraut, da ich das Differential selbst gar nicht vernünftig definieren kann. Wenn Du Ahnung hast Gunther, bitte ran! Viele Gruesse --DaTroll 11:12, 28. Feb 2005 (CET)

Wie gesagt, nach meinem Kenntnisstand gibt es den Begriff Differential nicht (höchstens Kähler-Differential, aber das hat mit dem gegenwärtigen Inhalt des Artikel nur sehr indirekt zu tun). Ein Teil der historischen Idee der infinitesimalen Änderung konnte im Begriff des Differenzenquotienten und der Ableitung gefasst werden, ein anderer Teil im Begriff der Differentialform und des Integrals von Differentialformen. Beispielsweise ist für Differentialformen df = f′ · dx durchaus richtig, aber dann nur um die Schreibweise df/dx zu rechtfertigen einen Quotienten von Differentialformen einzuführen, ist unüblich und kommt mir übertrieben vor.--Gunther 14:37, 28. Feb 2005 (CET)

Die Baustelle steht hier, weil in diesem Artikel die Absätzte nicht funktionieren, überall Leerzeilen, aber kein einziger Absatz, wer kennt sich aus? Roomsixhu

Rewrite

Ich habe mal angefangen, etwas zu den modernen Begriffen zu sagen. Ehrlich gesagt denke ich, dass der Rest in Differentialrechnung besser aufgehoben ist (ab "Das Differential des Differentialquotienten"). Jemand mit Ahnung sollte noch was zu Nichtstandard-Analysis schreiben. (Und die Derivation-Links sollten angepasst werden.) Schön wäre es auch, wenn jemandem noch etwas dazu einfällt, wie man Integrale von Differentialformen schön erklärt (warum alternierende n-Formen?).--Gunther 14:21, 13. Mär 2005 (CET)

Gliederung

Eine sinnvolle Gliederung wäre wohl in die drei Teile:

• Geschichte,
• moderne Begrifflichkeit,
• Nichtstandardanalysis,

nicht notwendigerweise in dieser Reihenfolge. Irgendwo sollte noch etwas zu den Rechnungen der Physiker a la Enthalpie (verlinkt hierher) stehen.--Gunther 21:57, 24. Mär 2005 (CET)

Das Unendliche in Klassischer Analysis und Nichtstandard Analysis

Wie ich mich bei D.Spalt unterrichtet habe, gibt es einen Unterschied in der Behandlung des Unendlichen (groß oder klein) in Konventioneller Analysis und Nichtstandard-Analysis

Konventionelle Analysis

Von Leibniz/Newton über Cauchy, bis auch Courant(mein Lehrbuch). Man könnte sie auch klassische oder einfach Analysis nennen. Sie nimmt das Unedliche in einem uneigentlichen Sinn:

• $\infty$ ist nur im uneigentlichen Sinn

eine Zahl - denn es gibt zwar Rechenregeln für $\infty$, doch sind diese andere als jene für die gewöhnlichen, die eigentlichen Zahlen.

• Unendlich ist nur im uneigentlichen Sinn ein Begriff -- denn es gibt zwar Mathematische Aussagen, in denen er vorkommt, nicht aber Aussagen über ihn. "Unendlich" ist eine abkürzende Redeweise für einen sonst umständlich zu formulierenden Sachverhalt, nicht aber selbst ein (Untersuchungs-)Gegenstand der Infinitesimalrechnung.

Ich glaube hier hat die Auseinandersetzung mit einem uneigentlichen dx und den Parallelen zwischen seinen anderen Rechenregeln und den Rechenregeln eigentlicher Zahlen einen Sinn.

Nichtstandard-Analysis

Gegenüber der etablierten Tradition der Konventionellen Analysis begann 1958-66 eine neue Tradition (ein ontologischer Umsturz vergleichbar dem euklidische-nichteuklidische Geometrie) -- sie heiße hier Hyperrelle Analysis (Nichtstandard-Analysis). Diese nimmt das Unendliche im eigentlichen Sinn:

• Es gibt unendliche Zahlen (kleine wie große, jeweils eine Vielzahl davon) genau so, wie es endliche gibt; insbesondere gelten für sie dieselben Rechenregeln
• Unendlich ist ein Begriff mit vollem Bürgerrecht und legitimer Gegenstand von Aussagen

Innerhalb der Tradition der Hyperrellen Analysis (Nichtstandard-Analysis) gibt es verschiedene Traditionslinien, insbesondere eine orginär

• infinitesimalmathematische (Schmieden/Laugwitz 1958, Omega-Zahlen(große)) und eine orginär
• logische (Robinson 1966), bei der es um die logische Fundierung oder die funktionalanalytische Perspektive geht.

Die Folge hiervon ist, ein Lehrsatz der Infinitesimalrechnung ist nicht mehr a priori in unzweifelhafter Weise mathematisch eindeutig zu deuten.

Hier benötigt man wohl kein dx mehr, denn es ist ein eigentlicher Begriff, wie der endlicher Zahlen. Irgendwie logisch.

--Roomsixhu 21:15, 22. Apr 2005 (CEST)

Zwei Punkte dazu:

• $\mathrm {d} x$ ist swiw auch in der Nichtstandardanalysis nicht vernünftig definierbar (außer als "eine beliebige unendlich kleine Zahl", aber das ist ja keine Definition).
• Der Unterschied bei "unendlich" als "Zahl" ist nicht so grundsätzlicher Natur. Auch in der gewöhnlichen Analysis hat $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ eine vernünftige topologische Struktur, so dass man nicht zwischen Grenzwerten für $x\to a$ und Grenzwerten für $x\to \infty$ unterscheiden muss.

--Gunther 21:57, 22. Apr 2005 (CEST)

Zitat

Ich war verwirrt, weil zwischendurch so viel moderner Text steht, das ist in jedem Fall überarbeitungsbedürftig. Ich habe aber meine Zweifel, dass es 1704 eine deutsche Ausgabe eines Werkes von Newton gab.-- Gunther 01:53, 16. Apr 2005 (CEST)

In der Notiz von Newton finde ich sowohl Größe als auch Grösse. Gibt es hier einen Bezug zu einer uralten deutschen Übersetzung?

Ja,ja aber das Zitat ist irgendwie schon sehr wertvoll für das Verständnis, warum man mit Differentialen rechnen kann, obwohl sie weder Differenzen noch alleinig Ergebnisse eines Grenzwertübergangs und sonst nichts sind. Newton hat nämlich, wie z.B auch in einem alten Joos "Höhererr Mathematik .." Buch aufgegriffen, schon etwas nicht selbstverständliches gemacht, mit der Erklärung war er selbst nicht zufrieden.Bei Leibniz kann man gleich losrechen, aber er hat auch diesen anderen Ansatz . --Roomsixhu 23:21, 16. Apr 2005 (CEST)

Ich bin mir nicht sicher, ob wirklich jemand versteht, warum so wenig schiefgeht, wenn man mit Differentialen rechnet. Du solltest deutlicher machen, dass die zweite Hälfte (ab "Das Differential des Differentialquotienten") die historische Entwicklung darstellt und nicht mathematisch präzise ist (oder zumindest die Präzisierung weitere Arbeit erfordert). Welche Funktion der Abschnitt "Ableitung eines Polynoms" hat, ist mir nicht klar.-- Gunther 00:02, 17. Apr 2005 (CEST)

Ableitung des Polynoms ist nicht von mir. Wie auch einiges andere nicht. Insgesamt ist mir auch aufgefallen, daß im Artikel zwei widersprüchliche Beschreibungen stehen und noch eine dritte, aber das ganze Durcheinander macht ja nur klar, daß hier Erklärungsbedarf vorliegt. Ich wäre auch gewillt zu kürzen für mehr Übersicht und für eine bessere Trennung, der verschiedenen Ansätze.--Roomsixhu 00:46, 17. Apr 2005 (CEST)

So, weil hier eine kleine Reformbewegung durchscheint habe ich mir den ganzen Artikel daraufhin noch einmal angesehen. Der Absatz Differentialquotient gehört meines Erachtens ganz in den Artikel Differentialrechnung. Ebenso Differentiale in der Integralrechnung respektive in den Artikel Integralrechnung.

Jetzt lassen sich drei Bereiche eingrenzen.

• 1. Spezialfälle z.B.. Kähler-Differentiale
• 2. Formen der Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher und damit wohl auch Begriffe der Differentialgeometrie. Differentialformen
• 3. Die nicht immer exakten entwicklungsgeschichtlich dargestellten. Also doch historisch.

Die Abschnitte bis einschließlich "Kähler-Differentiale" hatte ich konzipiert als Übersicht über die modernen Begriffe, die sich aus der Idee des Differentials entwickelt haben, jeweils mit einer kleinen Motivation, was sie mit unendlich kleinen Zahlen zu tun haben. (So ist das ja auch in der Einleitung angekündigt.) Ich würde sie eigentlich gerne behalten, jeweils mit einem "siehe auch" auf den Hauptartikel zu dem jeweiligen Begriff. Denn es gibt in der modernen Mathematik nun einmal kein "Differential" $\mathrm {d} x$ mehr (s.u.).-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

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Das Problem wird heutzutage ganz allgemein vom Schwanz her aufgezäumt in folgendem Sinne "Was ist ein Differential? Zum Beispiel dx, dy, d(yz)? Wieviel Meter ist es lang? Es kommt überall vor, vor allem als Faktor beim Integral. $\int x{\rm {d}}x={\frac {1}{2}}x^{2}+C$ Hier wiederum wurde mir die komplette höhere Mathematik um die Ohren gehauen, ohne Bescheid zu sagen, daß höher eigentlich nur den Gegensatz zur klassisch griechisch antiken bedeutet, eine ganze Analysis mit allen Sonderfällen beigebracht auf der Grundlage eines Differentialquotienten, noch immer ohne Begriff vom Differential, und als das dann alles fertig ist, erklärt man, weil man ja jetzt die Tangente kennt, das Differential als Teil der Tangentengleichung."

Dieses "Differential" ist IMNSHO Unsinn, in meinem Schulmathebuch stand dann auch irgendsoein Schwammsatz a la "dx ist eine unbestimmte Größe und dy = f' dx". Das braucht niemand, das verwendet niemand. Ich habe bisher noch nicht einmal eine präzise Definition gesehen.-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

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Das Differential des Differentialquotienten empfinde ich in diesem Sinne als unbefriedigend. Er ist zwar im modernen Sinne wohl exakt, aber fängt auch von hinten an. Ihm kann man die Notiz von Newton (er erfand den Reihenanstz) gegenüberstellen, wo einfach etwas weggelassen wird, was vielleicht nicht exakt aber doch nachvollziehbarer ist. Newtons Lehrer Barrow erkannte jedoch schon den Zusammenhang und das scheint immer wichtig, der Umkehrung der Differentialrechnung in die Integralrechnung, Auch Leiniz sagte, das Differential finden heiße die Tangente an eine Kurve zeichnen (man beachte die damals übliche geometri sch betonte Argumentation, nicht so bei Newton!), aber seine Rechenregeln siehe Notation, die er auf höchstens zwei Seiten fast ohne mathemathische Typographie ausführt sind überwältigend einfach.

Zu diesem "Differential" s.o.-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

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Das Differential des Integrals gehört jetzt nicht wie obiges in die Integralrechnung sondern ist wirklich symbolisch und daher historisch.

Ordnung der Differentiale setzt sich zwischen alle Stühle ebenso wie Begrifflicher Unterschied zwischen Integrieren und Differenzieren und spielt wieder etwas mit den Begriffen, aber sie sind wohl historisch einzuordnen, weil nicht so exakt sind, und sie die Sache von der Seite der Differentiale nicht der Differentialrechnung aufrollen.

Aber $\mathrm {d} ^{2}y$ ist modern nur schwer haltbar: Geschichte.-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

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Zu Historisches habe ich noch Pascal's Abhandlung über die Sinus der Viertelkreises anzubieten.

Sagt mir nichts.-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

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Notation ist historisch obwohl kontinuirlich von damals bis wenn nicht heute, so aber doch bis zu den Zeiten der endgültigen modernen Ausprägung der Darstellung entstanden. Auf jeden Fall hilfreich, auch für jeden angehenden Physikstudenten, denn gerade da braucht man die Rechenregelen in Differentialschreibweise.

Die ersten vier Abschnitte haben ja auch eine präzise Deutung als Gleichungen von Differentialformen. Die verschiedenen Notationen für die Ableitung haben dann eher wieder historischen Charakter, auch wenn sie alle noch üblich sind.-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

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In diesem Sinne würde ich jetzt demnächst an den Artikel herangehen. Scheint das befriedigend?--Roomsixhu 02:08, 17. Apr 2005 (CEST)

Habe meine Bemerkungen eingestreut, ich hoffe, es ist nicht zu unübersichtlich.-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

Ich finde aber diese Darstellung der Ordnung der Differentiale im Gegensatz zur Ordnung der unedlichkleinen Größen bemerkenswert. In modernen Zeichen $g'(f'(x))$ vielleicht, im Sinne von ddy. Es verhält sich doch fast so, wie die römischen Zahlen zu den arabischen. und man fällt doch immer wieder darauf zurück, das Differential der Unabhängigen aufzusuchen, bzw entsprechend geschickt zu substituieren. Und die Kettenregel läßt sich doch fast nur mit Differentialen quasi anatomisch darstellen. Newton hat Monsterformeln, an die habe ich mich auch noch nicht herangetraut, aber er war auch seinerzeit mathematisch hervorragend ausgebildet, Leibniz von den Bildungsinstitutionen gar nicht und später autodidaktisch und im Briefwechsel mit Bernoulli wohl auch nicht ganz auf der Höhe, aber er braucht wie gesagt nicht mal zwei Seiten.--Roomsixhu 03:41, 17. Apr 2005 (CEST)

Es gibt durchaus auch andere Schreibweisen, die die Kettenregel suggestiv machen, z.B. $D(fg)=Df\circ Dg$ oder $(fg)_{*}=f_{*}g_{*}$. Du bist Dir bei Deiner Änderung von 04:10, 17. Apr 2005 übrigens sicher, dass das urheberrechtlich unbedenklich ist? Ich bin da immer ein bisschen paranoid.-- Gunther 10:42, 17. Apr 2005 (CEST)

Quarts de Cercle

Das charakteristische Dreieck

Als junger Mann, während seines Aufenthaltes in Paris, empfing Leibniz im Jahre 1673 eine entscheidende Anregung durch eine Betrachtung Pascals in dessen 1659 erschienener Schrift ( Traité des sinus des quarts de cercle) (Traktat über die Sinus des Viertelkreises}). Er habe darin ein Licht gesehen, das der Autor nicht bemerkt habe, sagt er. - Es handelt sich um folgendes (mit modernen Zeichen geschrieben, vgl. : Um das statische Moment $\int \limits _{0}^{{\frac {1}{2}}a\Pi }y\,ds$ des Viertelkreisbogens bezüglich der x- Achse zu bestimmen, schließt Pascal aus der Ähnlichkeit der Dreiecke $\Delta x,\Delta y,\Delta s$ und ( $y,(a-x),a$, daß $\Delta$ s : a = $\Delta$ x :y also $y\Delta s=a\Delta x$, so daß $\int \limits _{0}^{{\frac {1}{2}}a\Pi }y\,ds=\int \limits _{0}^{a}a\,dx=a^{2}$ Leibniz bemerkte nun - und dies war das "Licht", das er sah-, daß dieses Verfahren nicht auf den Kreis beschränkt ist, sondern allgemein für jede (glatte) Kurve gilt, sofern der Kreisradius a durch die Länge der Kurvennormalen ersetzt wird. Das infinitesimale Dreieck $y\Delta s=a\Delta x$ ist das berühmte "charakteristische Dreieck". Es ist sehr bemerkenswert, daß die spätere Leibniz'sche Symbolik der Differentialrechnung (dx, dy, ds) gerade dem Standpunkt dieser "verbesserten Indivisibilienvorstellung" entspricht.

P.S Ich habe das nachgerechnet und es ist numerisch wahnsinnig ungenau, wenn man nicht Sekanten nimmt, auch mit Computerprogramm wird es sehr spät genauer, bei 18 Stellen noch 4% Ungenauigkeit. Das war auch zu Leibniz Zeiten nur mit Logarithmus nicht auszurechen.--Roomsixhu 03:41, 17. Apr 2005 (CEST)

Mir ist zwar nicht klar, was Du da mit einem Computerprogramm berechnest, aber wenn das die erste erfolgreiche Verwendung der Idee des Differentials ist, gehört es auf jeden Fall in den Artikel.-- Gunther 10:47, 17. Apr 2005 (CEST)

Charakteristisches Dreieck

Im Augenblick habe ich nichts mehr zum Vorzeigen. Beim Nachrechnen von Pascal habe ich mich wohl eh verrechnet, also bitte vergessen. Ich möchte noch auf folgendes hinweisen:

1. In der Kettenregel sind $d\phi$ oben und unten nicht identisch, unten steht ein Differential einer unabhänigen Größe, oben steht eines einer abhängigen, das eigentlich $d\phi (x)$ geschrieben werden müßte, und man kann sie dennoch zwanglos kürzen. Newton hatte, wenn es komplexer wurde, damit noch Schwierigkeiten und er stieß sich sehr wohl noch an "rationalen Größen" im Gegensatz zu Leibniz, wie er im Titel seiner Arbeit schon feststellt. Ich habe jetzt noch etwas Newton im Orginal gelesen und es gefällt mir seht gut, sehr sorgfältig vorgerechenet. Interessanterweise gibt es bei Newton die Größe o, wie ich schon im Artikel bemerkte und er führt noch eine gleichförmig fließende Größe z und ihre Fluxion ${\dot {z}}$ ein, um alle Glieder mit unendlich kleinen Größen höherer Ordnung als eins zu eliminieren, Quadratur der Kurven §1 Problem 1.
2. Ich habe noch eine andere Zeichnug des infinitesimalen Dreiecks gefunden. Man beachte dort die Krümmung von ds und die für das Integrieren plausiblere Darstellung. Wird ds beliebig klein verschwindet auch die Krümmung immer mehr.

Hoffentlich erkennbar

Da nun meine didaktischen Fähigkeiten eher schlecht sind, wollte ich nur noch kurz meine Motivation darstellen: Ich hatte folgende Fragen zu beantworten:

1. Wie kann ich mir ein 9 Meter langes Differential vorstellen? Ich kann es inzwischen. Ein Beispiel könnte ich nachreichen.
2. Wie kann ich beim Integrieren wie im Beispiel von Pascal von ds zu dx übergehen, was muß man beachten? Kann ich noch nicht so gut. Man muß jedenfalls die Regeln unter Notation beachten.
3. In welchem Verhältnis stehen die Differentiale in einer Formel oder Gleichung, im Zweifelsfall sogar Differentialgleichung? Wie kann ich so eine Gleichung umformen, bis ich sie verstehe? Eben wieder mit den Rechenregeln unter Notation. (Vielleicht fehlen noch einige). Aber ein schönes Beispiel wäre der Zusammenhang zwischen partieller Integration und Produktregel. Ich hatte zu einem Zeitpunkt zu dem ich mit dem Integral noch zu keiner begrifflichen Klärung gekommen war, keine Schwierigkeit Integrallösungen vermittels Substitution und partieller Integration zu verstehen ohne mir etwas unter Integral vorstellen zu können. Wahrscheinlich weil dort das erste mal diese geniale Differentialrechnung besonders rechenbar war.
4. Inzwischen ist noch ein Interesse dazugekommen, welche Aufgabe der Normierung dx übernimmt und ob es überhaupt so ist. Hier könnte ich auch noch ein Beispiel einfügen, wie Descartes die Geometrie normiert und damit algebraisiert (nennt man das so?) hat, soweit bis, glaube ich, ein Herr Lagrange feststellen konnte, daß in einem seiner Mathematikbücher trotz geometrischen Inhalts, keine einzige Abbildung vörkäme (oder so einen ähnliche Geschichte).
5. Hätte ich dazu ein Frage an Dich Gunther: Welchen Ansatz verfolgst Du? Einen mengentheoretischen, grundsätzlichen? Heutzutage wird ja alles sozusagen post-Cantor dargestellt, und an die erneute (anti-aristotelisch? nicht-euklidisch?) mathematische Grundlegung im 19. Jh. angeknüpft. Aber soweit ich weiß ist dieser Ansatz bis jetzt auch nicht durchgehend erfolgreich. Ich verfolge jedenfalls keine allgemeingültige Erklärung und erwarte sie auch nicht, da ja hier wie woanders die Umkehrung, d.i. Integration, zu Neuem führt. Was mich eher antreibt ist, Beweisgänge, die sich ausschließlich einer differentiellen Darstellung bedienen, zu verstehen und zu verfolgen, eine Umformung in differentieller Schreibweise selbst zu versuchen, zum Beispiel grundlgende theoretische Mechanik. von ds zu dv zu da oder einfache Differentialgleichungen von Schwingungen(gedämpft). Und schließlich die Motivation eine differentielle Darstellung eines mathematischen Sachverhalts vollständig und lückenlos selbst zu versuchen ohne Angst zu haben einen Schritt nicht darstellen zu können. Damit habe ich jedenfalls begonnen und die Rechenregeln (zusammengesucht) sind vielleicht auch anderen eine Hilfe. ( Ich sehe sie jetzt in allen möglichen und unmöglichen Varianten und erkenne sie wieder und verstehe sie sehr oft, wenn sie richtig sind.

Schließlich noch ein neuer Liter aturvorschlag (tolles Buch zu einer tollen Leibniz Austellung mit seiner Rechenmaschine und seinen Erfindungen und Darstellung der Denkweisen seiner Umwelt und seiner eigenen), von der Leibniz Gesell schaft Hannover, wozu ich noch versuche eine repräsentative Internetadresse herauszubekommen.--Roomsixhu 02:48, 19. Apr 2005 (CEST)

Die mengentheoretische Fundierung der Mathematik ist die einzig derzeit übliche. Was Du mit "nicht durchgehend erfolgreich" meinst, ist mir nicht klar. Soweit mir bekannt, gibt es nur zwei Möglichkeiten, das Rechnen mit Differentialen präzise zu fassen: einerseits mit Differentialformen, andererseits mit Nichtstandardanalysis. Differentialquotienten als Quotienten von Differentialformen aufzufassen, ist unüblich und funktioniert nur begrenzt. Nichtstandardanalysis ist eher eine exotische Theorie, die anscheinend wenig echte Vorteile bietet. Physiker rechnen natürlich mit Differentialen, ohne sich darüber Gedanken zu machen, was sie da tun, aber solange die Ergebnisse zu den Experimenten passen, kann ihnen das ja auch egal sein...-- Gunther 12:31, 19. Apr 2005 (CEST)

Partielle Integration und die Quadratur der Parabel

Ich bin nun nicht in der Lage mich mit der Grundlegung der Mathematik auseinanderzusetzen. Aber vielleicht ist das Differential ja doch kein mathematischer, sondern ein physikalischer Begriff. Denn der Begriff Geschwindigkeit ist nur über die Diffentialrechnung zu begründen. Und ein Differential ist ja auch in einer Rechnung letztendlich (zum Schluß) zu konkretisieren (auf dx zu beziehen). Noch zwei Beispiele:

Partielle Integration

$d(uv)=u\;dv+v\;du$. Die Produktregel ohne dx, es kommen nur abhängige Größen vor. Wir führen nur um den Anschluß an die moderne Darstellung zu gewinnen, das

unmögliche dx ein.

${\frac {d(uv)}{dx}}=u\;{\frac {dv}{dx}}+v\;{\frac {du}{dx}}$

und somit

$(uv)'=u\;v'+v\;u'.$

Nun auf beiden Seiten

integriert:

$uv=\int u\;dv+\int v\;du$

und

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$

Das ist doch

einfach und übersichtlich. Das schreibt man modern:

$\int u\;{\frac {dv}{dx}}dx=uv-\int v\;{\frac {du}{dx}}dx$

und damit

$\int u\;v'dx=uv-\int v\;u'dx$

und was uns an Erkenntnis

bleibt, $\int$ ist wohl das Gegenteil von $d$.

Was nun dieser Schritt der Erweiterung von 1 zu
${\frac {1}{dx}}dx$ vereinfachen soll, ist mir
völlig unklar.

1. Es ist ein Schritt mehr, und bei der differentielen Schreibweise muß ich ihn auch machen, aber

nur dann, wenn ich will, beziehungsweise nur einmal und zwar ganz am Schluß. Vorher kann man sich diese ganze Verwirrung erstmal sparen.

1. Die ganzen Darstellungen von Lagrange, Cauchy und

auch Newton implizieren diese Erweiterung, also ist zum Verständnis der differentillen Schreibweise keine Erklärung, oder ein Rechenschritt nötig, sondern nur der Hinweis auf einen (Rechen-)Rückschritt: Aus ${\frac {1}{dx}}dx$ wird 1 gemacht und dx wird unsichtbar. Newton hat das Problem auch erkannt und mal so und mal so angegangen, aber er fühlt sich nicht wohl dabei, wie wir heutzutage auch nicht, vor allem Cauchy.

Historische Fußnote: Leibniz schrieb ursprünglich für $dx$ ${\frac {x}{d}}$ und$\int l$ hieß vorher noch $omnia\;l$ Das dx hinter dem Integral war am Anfang noch nicht vorhanden. Leibniz und Bernoulli hingen es erst später an.

Das ist ein Punkt, den man mit Differentialformen ohne mathematische Bauchschmerzen so hinschreiben kann:

$[uv]_{a}^{b}=\int _{a}^{b}\mathrm {d} (uv)$

und

$\mathrm {d} (uv)=v\,\mathrm {d} u+u\,\mathrm {d} v=u'v\,\mathrm {d} x+uv'\,\mathrm {d} x,$

also

$[uv]_{a}^{b}=\int _{a}^{b}u'v\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}uv'\,\mathrm {d} x.$

--Gunther 01:23, 22. Apr 2005 (CEST)

Die Quadratur der Parabel

$f(x)=x^{2}$ von 0 bis b. Für das Integral $\int \limits _{0}^{b}x^{2}dx$ für $b\geq 0$ teilen wir das Intervall $0\leq x\leq b$ in n gleich Teile der Länge $h={\frac {b}{n}}$, durch die Teilpunkte $0+h,0+2h,0+3h.\ldots ,0+(n-1)h$.

Ober- und Untersumme für n=9

Dann ist der

gesuchte Flächeninhalt der Parabel der Grenzwert des folgenden

Ausdrucks (Obersumme):

$h(h^{2}+2^{2}h^{2}+3^{2}h^{2}+\ldots +n^{2}h^{2})=h^{3}(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2})=$ $={\frac {b^{3}}{n^{3}}}(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2})$

Die Summe in der Klammer

haben wir durch folgenden Ausdruck ausgedrückt:

$(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2})={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Setzen wir ein soerhalten wir

nach einer Umformung:

${\frac {b^{3}}{6}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\left(2+{\frac {1}{n}}\right)$

Bei unbegrenzt wachsendem n ergibt sich also der Grenzwert ${\frac {b^{3}}{3}}$, und wir erhalten die

gesuchte Integralformel:

$\int \limits _{0}^{b}x^{2}\,dx={\frac {b^{3}}{3}}$

Hieraus ergibt sich die

allgemeinere Relation(nach hier nicht gezeigten Regeln):

$\int \limits _{a}^{b}x^{2}\,dx=\int \limits _{0}^{b}x^{2}\,dx-\int \limits _{0}^{a}x^{2}\,dx={\frac {b^{3}-a^{3}}{3}}$

Wir können jetzt festellen:

1. $dx=h={\frac {b}{n}}$
2. dy ist eine Funktion von dx
3. Hier speziell ist :$\int y=(h^{2}+2^{2}h^{2}+3^{2}h^{2}+\ldots +n^{2}h^{2})$
4. dx ist eine Funktion von n, dx(n).
5. y sollte man indizieren, $y_{k}$: $\int y$ drücken wir bei noch

endlichem n so aus$\sum \limits _{k=1}^{n}k^{2}h^{2}$. Das Integral ist somit ein Funktion von k, sozusagen $\int (k)y$. y ist noch eine Funktion von x: $y=y(x)=x^{2}$

Womit wir zu einer unmöglichen Geamtdarstellung kommen, denn wir haben vier Abhängigkeiten von k,n, dx und x , und infinitesimal macht Indizierung keinen Sinn: Wir könnten jetzt für die Summe oder die stilisierte Summe , das Integral $s_{y}(k)$ schreiben und erhalten. $s_{y}(k)dx(n)$ für die ganze Funktion, wobei wir uns den Bezug von x und n denken. So das war doch jetzt ganz lustig.

P.S. Wenn man die Zeichnung im Artikel betrachtet, sieht man, daß dx nicht wie heute üblich in x-Richtung eingezeichnet ist, sondern senkrecht dazu.(siehe dazu obige Figur). Ich glaube es ist auch egal. Ich habe Herrn Leibniz im Verdacht, daß er dx nicht erklärt sondern einfach erklärt, es gebe ein dx, sozusagen axiomatisch. Descartes macht das auch ,it der Einheit und kein Mensch fragt, wie man die Einheit erklärt. Rechnung folgt demnächst.--Roomsixhu 20:34, 20. Apr 2005 (CEST)

Copyright

Ich habe freundlicherweise vom Harri Deutsch Verlag die Erlaubnis erhalten Leibniz "Neue Methode .." und Newtons "10. .." hier abzuschreiben.

Bibliographische Angaben:

G. W. Leibniz / I. Newton Über die Analysis des Unendlichen / Abhandlung über die Quadratur der Kurven

Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 162 (Reprint der Bände 162 und 164)

Übers. und Hrsg.: G. Kowalewski Nachdruck der 2. Aufl. 1996, 1998 150 Seiten, 17 Abbildungen, kartoniert, EUR 12,80

ISBN 3-8171-3162-3

--Roomsixhu 01:24, 22. Apr 2005 (CEST)

Stellen Sie es also unter die GNU-FDL? Wenn sie das Copyright behalten, muessen wir es hier loeschen. --DaTroll 10:20, 24. Mai 2005 (CEST)

Die Frage habe ich mir auch schon gestellt, aber ist das nicht sowieso gemeinfrei, wenn die erste Auflage schon über 70 Jahre alt ist? [3]--Gunther 10:30, 24. Mai 2005 (CEST)

Nein, die 70 Jahre werden ab Tod des Urheberrechtsinhabers gezaehlt. Mir ist aber nicht ganz klar, was im Artikel ist: Uebersetzungen der lateinischen Originale (wenn ja, wer hat uebersetzt?) oder Kommentare aus dem Buch? --DaTroll 10:36, 24. Mai 2005 (CEST)

Wenn ich das richtig verstehe, enthält das Buch lediglich eine Übersetzung der beiden Werke von Leibniz und Newton. Wer muss denn in so einem Fall tot sein? Leibniz und Newton? Der Übersetzer? Der Verlag?--Gunther 10:42, 24. Mai 2005 (CEST)

Dann muessen wir wohl noch 15 Jahre warten, wenn ich die Seite richtig deute und Kowalewski der Uebersetzer ist: [4]. Uebersetzungen sind IMHO auch geschuetzt. --DaTroll 10:48, 24. Mai 2005 (CEST)

Oder zumindest sollte Roomsixhu nochmal genauer angeben, was der Verlag gestattet hat. Irgendein Quellenhinweis muss sein, vielleicht ist ja nur die Überschrift "Copyright

" unklar gewählt.--Gunther 10:56, 24. Mai 2005 (CEST)

Ich hab ihn mal angeschrieben. --DaTroll 11:02, 24. Mai 2005 (CEST)

Kowalewski hat übersetzt und Anmerkungen hinzugefügt. Harri Deutsch Verlag hat sich die Druckvorlage(Orginal) freundlicherweise von der Bibliothek des Institutes für Geschichte der Naturwissenschaften der Universität Frankfurt am Main zur Verfügung stellen lassen. Ich möchte dann auch informiert werden, wenn ich tot bin. --Roomsixhu 19:56, 24. Mai 2005 (CEST)

Ich habe alle nochmal angemailt wegen GNU-FDL mit untigem Link und werde das Ergebnis berichten. Bis dahin könnte mir ja mal jemand sein altes Lateinbuch schicken, und ich fang an. Die Texte sind die Übersetzungen, der Kommentar dazu ist nicht von Kowalewski sondern von mir, wie ich auch seine Anmerkungen nicht zitiert habe. --Roomsixhu 18:41, 29. Mai 2005 (CEST)

Hurra. Leibniz und Newton können drinbleiben.

At 22:37 28.05.2005 +0200, you wrote: Vielen Dank, leider habe ich mich mit den Lizenzrechten geirrt. Bei Wikipedia müßte das unter die GNU-FDL (freie Lizenz) GNU-Lizenz für freie Dokumentation: http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia%3AGNU_Free_Documentation_License gestellt werden. Ist das für diese Abschnitte möglich. Ich müßte sonst Latein lernen, weil ich nur noch das lateinische Orginal habe.

Seehr geeehrter Herr Wulf,

ja, ist moeglich. Wie gehabt: bitte korrekte bibl. Angaben.

Mit freundlichen Gruessen

Heike Schulze Verlag Harri Deutsch Tel (069) 770158-60 Fax (069) 770158-69 www.harri-deutsch.de/verlag 01.06.2005

--Roomsixhu 03:09, 2. Jun 2005 (CEST)

Differentiale zweiter Ordnung

Ich finde diese Erklärung nicht ausgesprochen glücklich, da $dy$ für verschiedene Funktionen steht, je nach Wahl von $h$. (Die übliche Lösung dieses Problems besteht darin, $dy$ als Funktion von $x$ und $h$ aufzufassen, aber dann kann man nicht $ddy$ bilden.)--Gunther 18:13, 14. Mai 2005 (CEST)

Ah ja, das stimmt, deshalb muß ich ja h auch ausdrücklich festhalten, wie unglücklich beschrieben, aber ich erkenne jetzt, wo die Problematik liegt. Mal muß man dies mal jenes festhalten, das ist doch wirklich sehr umständlich. Lieber Gunther empfiehl mir mal ein gutes Lehrbuch Deiner Richtung und ich werde mal reinschauen, um zukünftige Mißverständnisse zu minimieren. Nicht jede Reform bringt einen weiter und trotz beispielsweise Rechtschreibereform, sollte man alte Bücher lesen können, und das wird bald beigebracht werden müssen. Ich würde dies auch auf Leibniz anwenden, hätte er nicht lateinisch geschrieben, dafür konnte Schiller schlecht Englisch. Höhö --Roomsixhu 19:26, 14. Mai 2005 (CEST)

Wie gesagt, mir ist keine übliche oder einfache Möglichkeit bekannt, $\mathrm {d} ^{2}y$ irgendeinen exakten Sinn zu geben. Aus Sicht der Differentialformen ist $\mathrm {d} y$ genau das beschriebene: eine Funktion, die aus einem Punkt (x) und einem Tangentialvektor in diesem Punkt (h) eine Zahl macht. Aber in der Theorie der Differentialformen ist $\mathrm {dd} y=0$...--Gunther 19:35, 14. Mai 2005 (CEST)

Habe ich das richtig verstanden $\mathrm {d}$ ist linear und $\mathrm {dd} \omega =0$. Differentialform Aber das macht Newton ja auch schon in meiner Notiz. Und andere lassen auch unendlich kleine Größen weg. Also der eine Ansatz ist ein Weglassen der unendlich kleinen Größen höherer Ordnung Differentialform, der andere eine Algebraisierung der Leibnizregeln Kähler-Differential, inclusive Symmetriebetrachtungen. Die habe ich auch mal versucht, aber kommt das nicht wieder letztendlich auf rationale Funktionen hinaus. Mit denen kann man schon sehr viel machen, eigentlich alles. Symmetriebetrachtungen in diesem Ausmaß kommen meiner Meinung aus der Thermodynamik, Quantenmechanik und folgendem. Und führen zu Quarks, Wurmlöchern und Chaos. Sehr lebensnah. Wer kennt sich da aus?--Roomsixhu 03:22, 15. Mai 2005 (CEST)

Das $\mathrm {dd} \omega =0$ der Differentialformen hat nichts mit dem Weglassen von Termen höherer Ordnung zu tun. Diese Gleichung trägt zu der ganzen Fragestellung hier wenig bei (außer Verwirrung).--Gunther 22:53, 20. Mai 2005 (CEST)

Einleitung

Ich bin mit den inhaltlichen Änderungen nicht glücklich:

• "feste endliche Zahlgröße mit den Verhältnissen einer veränderlichen unendlich kleinen" finde ich komplett unverständlich.
• Ich halte es für wichtig, darauf hinzuweisen, dass es vor Cauchy keine mathematisch exakte Differentialrechnung gab.
• Die neue Entwicklung hat nichts mit Mengentheorie zu tun.
• Den Satz "Lediglich im Kontext..." in der alten Version halte ich immer noch für korrekt. Mir ist nicht klar, was die neuen Sätze sagen wollen.

--Gunther 6. Jul 2005 00:21 (CEST)

Hallo Gunther, hier nur eine Skizze. Es ist historisch einfach nicht so, daß Differentiale unendlichklein wären. Ich plädiere dafür, wie auch inhaltlich richtig, sie gleichberechtigt mit unendlcihkleinen Größen zu behandeln und die Unterschiede darzustellen. Historisch ist es so: Newton hat bekanntlich seine Methode nach Leibniz veröffentlicht, obowohl er sie früher gefunden hatte. Deshalb der Prioritätenstreit. Er meinte sich in Gegensatz zu Leibniz setzen zu müssen, indem er seine Rechnungen auf unendlichkleine Größen bezog. Nur irrte er sich . Leibniz befand sich in keinem Gegensatz, auch er sah die Notwendigkeit unendlichkleiner Größen. Der Abschluß durch Cauchy stellt auch keine unendlichkleinen Größen in Abrede, aber Cauchy gibt dem Differential eine endliche Größe. Dann kann er unter den Differentialen eine Einheit auszeichnen. Die ist elementar zur Differrentialrechnung nötig. Sonst hätte man nur einzelne Ableitungen. Man kann unter unendlichkleinen Gröen keine Einheit auswählen. Auch sie verschwände. Auch ist seine Beweisführung logisch einwandfrei, aber das überlasse ich gerne den Herren Spalt und Laugwitz. Man kann die Gleichung ${\frac {fluxion(x)}{fluxion(x^{n})}}={\frac {1}{nx^{n-1}}}$ unter Notiz von Newton auf zwei Arten lesen:

1. Links der Differentialquotient, rechts die Ableitung. Man kann dann links die Reihe von Newton mit den o's einsetzen oder die verkürzte Form des ersten Reihengleides, je nach Wunsch.
2. Rechts oben steht eine Einheit und links oben steht eine Einheit. Also ist fluxion(x) eine Einheit und nicht unendlichklein.

Noch mehr historisches: Man kann Leibniz schwer unterstellen, er hätte schon ein logisches Aussagenkalkül mit Wahr und Falsch-Werten gehabt (Es ist wahr, daß ein Diffential neun Meter lang ist). Das hatte er nicht. Er hatte eine an Aristoteles geschulte Begriffslogik (Ein Differential ist neun Meter lang): Ein Begriff ist alles Meinbare. Insbesondere ein 9 Meter langes Diffential. Und man kann damit rechnen, wenn man ihm Regeln gibt. Kurz die Aussagenlogik ist ein Kalkül mit Deutung. Die Begriffslogik ein formuliertes Problem mit Kalkül. Eine Aussagenlogische "Implikation" aus falschem folge beliebiges, wahres und falsches, läßt in der Begriffslogik den Unsinn, aus jedem unwahren Urteil folge jedes beliebige, entstehen. ('Schnee ist schwarz "impliziert" heute ist der 7. Juli.' Das ist begriffslogisch sinnlos) Auch aussagenlogische "Äquivalenz" ist Identität hinsichtlich Wahrheitswerten , nicht wie begriffslogisch hinsichtlich Inhalten. [Begriffslogik].

Untersuche doch bitte Kählerdifferentiale und Differentialformen. Wenn sich darin Normalformen finden, hast Du, eine Einheit, Normierung, 1 oder das Differential!

Die Logiken Aussagenlogik (z.B Hilber-Kalkül) und Begriffslogik sind letztendlich gleichwertig. Aussagenlogik baut Begriffe aus Urteilen auf. Begriffslogik baut aus Begriffen und Schlüssen Urteile auf. Der Begriff Begriff unterliegt deshalb in der Aussagenlogik oft Mißverständnissen.

Schließlich ein Vorteil endlicher Differentiale: Ein Differential der Ableitung (festgehaltenre Punkt und infinitesimale Annäherung) und ein Differential am Integral (ganzes Intervall) sind begriffslogisch identisch. Wenn mir jemand das so ohne weiteres aus den Grenzwertdefinition

en von Ableitung und Integral (in schwierigereren Fällen) hinschreibt ist er gut. Im Unterschied sehen sich dort die entsprechenden Größen nicht besonders ähnlich.

Gruß --Roomsixhu 7. Jul 2005 03:13 (CEST)

Ich habe schon mal selbst nachgesehen: $\mathrm {d} \omega$ist die äußere Ableitung. Aber die zweite Ableitung ist bei Leibniz ddy/dxdx nicht ddy/ddx. und $\mathrm {dd} istR-linear=0$ ist identisch mit der Leibnizschen Noremierung. Kähler-Differentiale sind linear. dx=const. und ddx=0 ist es auch (Leibniz). Mißverständnisse muß ich entschuldigen, denn ich bin in den Zeichen nicht fit. Nachbemerkung: Ein Differential muß man nicht definieren, man kann es endlich meinen, und meinen die Ableitunsregeln gelten dafür. Daraus kann ich ein begriffslogisches Kalkül entwickeln. Das reicht. --Roomsixhu 7. Jul 2005 03:40 (CEST)

Ich habe mal einen neuen Versuch gemacht. Es sollte halt auf jeden Fall rein, dass heute niemand mehr mit Differentialen rechnet, sondern dass das i.w. ein historischer Begriff ist.--Gunther 7. Jul 2005 09:53 (CEST)

Anschaulich ist schon sehr schön. Ich hätte gerne noch das Endliche der Differentiale drin. Wenn ich Deine Formulierung weiterspinne, ist die Neuzeitliche Mathematik seit Descartes der Versuch Mathematik anschaulich zu fassen. Ich bin damit einverstanden, aber hattest Du diesen Sinn beabsichtigt? Ich bin weiter stark an Normalformen interessiert.

P.S. Habe ich oben vervollständigt:

Aussagenlogik baut Begriffe aus Urteilen auf. Begriffslogik baut aus Begriffen und Schlüssen Urteile auf. Der Begriff Begriff unterliegt deshalb in der Aussagenlogik oft Mißverständnissen.

--Roomsixhu 7. Jul 2005 17:19 (CEST)

Begrifflicher Unterschied zwischen Differenzieren und Integrieren

Dann bitte aber auch die zwei Integralabsätzte entfernen, denn dx hinter dem Integral ist kein $x\to x_{0}$. DaTroll Du löscht sehr gerne, aber bitte konsequenter. --Roomsixhu 9. Jul 2005 12:39 (CEST)

Ich hätte diesen ganzen Artikel gerne entrümpelt, daß sich ein Leser wieder Informationen über Differentiale holen kann. Deshalb mein Vorschlag:

• Ich lagere historisches unter Differential_(Leibniz), Differential_(Cauchy), Differential_(Newton) und das charakteristische Dreieck unter Differential_(Pascal) aus.
• Wir machen einen Artikel Integrationskonstante und besprechen das Ganze nochmal aus der Sicht des Herrn Integral.

Frage wie verschiebe ich Absätze aus einem Artikel?? --Roomsixhu 9. Jul 2005 16:11 (CEST)

Eine derartige Aufteilung erscheint mir nicht sinnvoll. Im Regelfall sollte ein Artikel einen Begriff behandeln, nicht mehr, nicht weniger. Man könnte allerdings die erste Hälfte rauswerfen und den Artikel auf einen Geschichtsartikel reduzieren; die modernen Differentialbegriffe (Totalableitung, Kähler-Differential) könnte man dann über eine BKS erledigen.--Gunther 9. Jul 2005 16:39 (CEST)

@Roomsixhu: Da muss ich mich bei Dir entschuldigen. Ich hatte Deinen Hinweis oben übersehen, die Abschnitte werde ich wieder reinkopieren. Bis auf den letzten, den ich immer noch fehl am Platze finde. Hier muss ich auch mal Kritik an Deinen Beiträgen üben: ich habe den Eindruck, dass Du zuwenig guckst, wo ein Abschnitt hinpasst und dadurch doppelte Inhalte erzeugst oder auch Abschnitte, die sich nicht in den Rest eines Artikels einbinden (siehe Integralrechnung, die Kartesische Geometrie oder auch hier). Bitte gehe da doch etwas sorgfältiger vor. Schönen Abend noch, --DaTroll 20:20, 12. Jul 2005 (CEST)

Ja, sorry, kann schon angehen. Ich werde mich zusammenreißen. Bin auch schon in Mathematischen Artikeln zurückhaltender geworden. Aber hier gehen ein Haufen guter Gedanken verloren. Und Fehler sind halt auch drin. Analytische Geometrie ist ja nun in Bezug auf Descartes völlig nichtssagend, bei Descartes steht es auch nicht. Aber wenn sich etwas nicht in einen Artikel einbindet, kann das auch am Artikel liegen. Ich bewege mich wahrscheinlich völlig unter dem Niveau eines Mathematikers, aber darüber bin ich nicht traurig. Ein "Mathematiker" wird sich nicht auf mein Niveau herabbegeben. Ich hatte auch schon mal das Schlagwort Didaktik erwähnt, die ich für völlig vernachlässigt halte. Was die Disskusion über Infinitesimale angeht, erinnert mich das eher an barockes Niveau. Kowalewski war ein Schüler Weierstraß'. Mein Frust kommt vielleicht auch daher, daß ich keine Antworten in Wikipedia erhalte, und wenn ich das in einem Artikel dann fälschlicherweise einfüge, erhalte ich erstrecht keine Antwort. Oder einen Artikel analytische Geometrie: Rechnen kann ich selber und mehr steht nicht drin. Inzwischen bin ich hier der Auffassung, daß man Leibniz nicht nach Differentialen befragen sollte. Und nochmal: Kennt jemand den Unterschied (Grenzwert) hier zwischen Cauchy und Weierstraß?. Mal Ehrlich!

Garantieerklärung. Da ich jetzt eine eigene Hompage habe, tobe ich mich da aus. --Roomsixhu 21:23, 12. Jul 2005 (CEST)