Riemannsche Zeta-Funktion

Die riemannsche ζ-Funktion (Zeta-Funktion nach Bernhard Riemann) ist eine spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Ihre Bedeutung liegt darin, dass ihre Nullstellen im Komplexen Auskunft über Primzahlen, ihre Verteilung und über deren Eigenschaften geben. Zudem ist sie eine bedeutende Dirichlet-Reihe, die in vielen Disziplinen Anwendungen hat.

Die riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene.

Die in obigem Bild verwendete Kolorierung der komplexen Funktionswerte: Positive reelle Werte sind rot gefärbt.

Definition

Die Dirichlet-Reihe ist nur auf der um 1 verschobenen rechten Halbebene definiert. Der für sie undefinierte Bereich ist in grau dargestellt.

Für komplexe Zahlen $s\in \mathbb {C}$, deren Realteil größer als 1 ist, ist die Zeta-Funktion definiert durch die Dirichlet-Reihe:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots .$

Die Beschränktheit der Definitionsmenge dieser Darstellung wird ersichtlich, wenn man z.B. versuchte, die $\zeta$ -Funktion an der Stelle $s=-1$ über die Dirichlet-Reihe auszuwerten. Man hätte dann

$\zeta (-1)=1+{\frac {1}{2^{-1}}}+{\frac {1}{3^{-1}}}+{\frac {1}{4^{-1}}}+{\frac {1}{5^{-1}}}+{\frac {1}{6^{-1}}}+{\frac {1}{7^{-1}}}+\cdots =1+2+3+4+5+6+7+\cdots$

was ganz offensichtlich keinen endlichen Grenzwert besitzt. Daher ist ihr Definitionsbereich auf die um 1 verschobene rechte Hälfte der komplexen Zahlenebene, also auf alle $\{s\in \mathbb {C} |\mathrm {Re} s>1\}$, beschränkt.

Trotz allem ist genau diese Formel die Basis für alle anderen Darstellungen der Zeta-Funktion. Um die Riemannsche Zeta-Funktion für alle Zahlen der komplexen Zahlenebene (mit Ausnahme der Zahl 1) berechnen zu können, bedient man sich des Konzepts der analytischen Fortsetzung.

Euler-Produkt

Eine wesentliche Eigenschaft der Zeta-Funktion ist ihre Verbindung zu den Primzahlen. Euler, der als erster diesen Zusammenhang entdeckte, betrachtete dafür das später nach ihm benannte Euler-Produkt:

$\prod _{p\ {\text{prim}}}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{p^{3s}}}+\cdots \right)=\prod _{p\ {\text{prim}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ns}}}\right)$

Hierbei stellt jeder einzelne Faktor des Produktes eine geometrische Reihe gebildet über den Wert $q=p^{-s}$ dar, während sich das gesamte Produkt über alle Primzahlen $p$ erstreckt.

Als nächsten Schritt multiplizierte Euler das Produkt komplett aus, wobei sich unter Anwendung der Regel über das Produkt unendlicher Reihen

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }a_{n}b_{m}$

der folgende Ausdruck ergibt:

$\left(\sum _{n_{1}=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{sn_{1}}}}\right)\left(\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {1}{3^{sn_{2}}}}\right)\cdots \left(\sum _{n_{k}=0}^{\infty }{\frac {1}{p_{k}^{sn_{k}}}}\right)\cdots =\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{k}=0}^{\infty }\cdots {\frac {1}{(2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}\cdots p_{k}^{n_{k}}\cdots )^{s}}},$

wobei $p_{k}$ die $k$-te Primzahl ist. Nun griff Euler auf den Fundamentalsatz der Arithmetik zurück, der besagt, dass es für jede natürliche Zahl $N$ eine eindeutige Primfaktorzerlegung gibt, was wiederum heißt, dass für jede dieser Zahlen $N$ genau eine natürliche Folge $(n_{k})$ existiert, sodass

$N=2^{n_{1}}\cdot 3^{n_{2}}\cdot 5^{n_{3}}\cdot 7^{n_{4}}\cdots p_{k}^{n_{k}}\cdots$

gilt. Wendet man diese Tatsache auf Eulers ausmultiplizierten Summenausdruck an, erhält man folglich:

$\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{k}=0}^{\infty }\cdots {\frac {1}{(2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}\cdots p_{k}^{n_{k}}\cdots )^{s}}}=\sum _{N\in \mathbb {N} }{\frac {1}{N^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$

da die Summen jeweils unabhängig alle Folgeglieder über alle natürlichen Zahlen einschließlich 0 summieren, sodass jede erdenkliche Kombination der Primfaktorzerlegung durchlaufen wird. Zusammen mit der Formel

$1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{p^{3s}}}+\cdots ={\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}$

für die geometrische Reihe gelangt man schließlich zu:

$\prod _{p\ {\text{prim}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).$

Diese auf den ersten Blick völlig harmlose Tatsache macht die Zeta-Funktion zu einem zentralen Gegenstand der modernen Zahlentheorie und war ausschlaggebend für Bernhard Riemanns bedeutende Arbeit "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe".

Anmerkung: Da das Euler-Produkt äquivalent zur Dirichlet-Reihen-Darstellung der Zeta-Funktion ist, konvergiert es ebenfalls nur auf der um 1 verschobenen rechten Halbebene, also für alle komplexen Zahlen $s$ mit $\mathrm {Re} s>1$.

Funktionalgleichung

Auf ganz $\mathbb {C}$ gilt als Identität zwischen meromorphen Funktionen

$\zeta (1-s)={2 \over (2\pi )^{s}}\,\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\Gamma (s)\,\zeta (s).$

Aus dieser geht durch einfache Umformung die alternative Darstellung

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\,\sin {\frac {\pi s}{2}}\,\Gamma (1-s)\,\zeta (1-s)$

für alle s in $\mathbb {C} \setminus \lbrace {0,1\rbrace }$ hervor.

Alternativ zu der obigen Funktionalgleichung definierte Riemann in seiner Arbeit die Funktion:

$\xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)$

für die

$\!\ \xi (s)=\xi (1-s)$

gilt. Sie wird auch als Riemannsche Xi-Funktion bezeichnet.

Ein Herleitungsansatz für die Funktionalgleichung befindet sich im unteren Abschnitt.

Eigenschaften

Verhalten in der komplexen Ebene

Die $\zeta$-Funktion ist eine in ganz $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ holomorphe Funktion, das bedeutet, dass sie an allen Stellen außer $s=1$ ableitbar ist. Darüber hinaus ist sie in ganz $\mathbb {C}$ meromorph.

An der Stelle $s=1$ besitzt sie (aufgrund der Divergenz der harmonischen Reihe) einen Pol erster Ordnung mit Residuum 1, d.h. es gilt:

$\lim _{s\to 0}s\cdot \zeta (s+1)=1.$

Des Weiteren gilt:

$\lim _{\mathrm {Re} s\to \infty }\zeta (s)=\lim _{\sigma \to \infty }\zeta (\sigma +it)=1.$

Eine einfache Erklärung hierfür ist das Verhalten der Dirichlet-Reihe. Wird nämlich der Realteil des Arguments stark vergrößert, so liefern die Reihenglieder nach 1 nur noch verschwindend kleine Beiträge.

$\lim _{\sigma \to \infty }\zeta (\sigma +it)=\lim _{\sigma \to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\sigma +it}}}=1+\lim _{\sigma \to \infty }\left({\frac {1}{2^{\sigma +it}}}+{\frac {1}{3^{\sigma +it}}}+\cdots \right)=1.$

Vergleiche hierzu auch den komplexen Graph der Zeta-Funktion zu Beginn des Artikels, der in Richtung der positiven reellen Achse zunehmend konstant rot gefärbt ist.

Spiegelung konjugierter Argumente

Zu einer komplexen Zahl $s=a+bi$ definiert man ihre Konjugation über ${\bar {s}}=a-bi$. Es gilt nun für alle $s\in \mathbb {C} \setminus \{1\}$:

$\zeta ({\bar {s}})={\overline {\zeta (s)}}.$

Das bedeutet: wenn für ein reelles Zahlenpaar $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a+bi\not =1$

$\!\ \zeta (a+bi)=c+di$

mit $c,d\in \mathbb {R}$ gilt, so gilt gleichzeitig:

$\!\ \zeta (a-bi)=c-di.$

Eine Beweismöglichkeit dieser Tatsache ergibt sich über die Dirichlet-Reihe:

$\zeta ({\bar {s}})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\bar {s}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {e} ^{-{\bar {s}}\log n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\overline {\mathrm {e} ^{-s\log n}}}={\overline {\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {e} ^{-s\log n}}}={\overline {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}}={\overline {\zeta (s)}}.$

Obwohl die Dirichlet-Reihe nicht global konvergiert, wird diese Eigenschaft in ganz $\mathbb {C}$ beibehalten.

Jede auf dem kritischen Streifen $S$ definierte und in einem Gebiet $U$ nullstellenfreie holomorphe Funktion wird beliebig genau approximiert.

Universalitätssatz von Woronin

Nach dem Universalitätssatz von Woronin ist die Riemannsche $\zeta$-Funktion im Stande, jede beliebige (holomorphe) Funktion in einer nullstellenfreien Kreisscheibe mit Radius 1/4 beliebig genau zu approximieren.

Formal ausgedrückt: sei $U$ eine zusammenhängende, kompakte Teilmenge (Gebiet) des Streifens $S:=\{s\in \mathbb {C} |\,1/2<\mathrm {Re} \;s<1\}$.

Sei $f:U\to \mathbb {C}$ nun eine in ganz $U$ holomorphe Funktion, die außerdem für kein $s\in U$ verschwinde. Es existiert dann für jedes $0<\epsilon$ ein $0\leq \tau$, so dass

$|\zeta (s+i\tau )-f(s)|<\epsilon$

für alle $s\in U$.

Die Aussage, dass sich die $\zeta$-Funktion selbst über den Universalitätssatz approximieren lässt, ist äquivalent zur Riemannschen Vermutung.

Aus dem Universalitätssatz kann gefolgert werden, dass sich die $\zeta$-Funktion im kritischen Streifen äußerst chaotisch verhält, was zunächst widersprüchlich zu der (vermutlich) perfekt symmetrischen Lage ihrer Nullstellen zu sein scheint. Viele Mathematiker vermuten daher, dass sich hinter diesen abstrakten Eigenschaften eine fundamentale Theorie verbirgt.

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion der Folge $\zeta (n)$ mit $n=2,3,4,5,...$ für alle $|z|<1$ ist:

$\sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n)z^{n-1}=-\gamma -\psi (1-z),$

wobei $\psi (z)$ hier die Digamma-Funktion und $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Des Weiteren spielt sie eine Rolle bei der Taylor-Entwicklung der Kotangensfunktion. Reduziert man die obige Reihe nämlich auf gerade Terme, so ergibt sich:

$\sum _{n=1}^{\infty }\zeta (2n)z^{2n}={\frac {\pi ^{2}}{6}}z^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{90}}z^{4}+{\frac {\pi ^{6}}{945}}z^{6}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {\pi z}{2}}\cot \pi z.$

Verbindung zu zahlentheoretischen Funktionen

Es existieren Zusammenhänge zwischen einigen zahlentheoretischen Funktionen und der $\zeta$-Funktion. Diese Verbindungen drücken sich in Dirichlet-Reihen aus, die über die betreffenden zahlentheoretischen Funktionen gebildet werden.

Zum Beispiel haben wir die Relation:

$\zeta (s)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=1+{\frac {2}{2^{s}}}+{\frac {2}{3^{s}}}+{\frac {3}{4^{s}}}+{\frac {2}{5^{s}}}+{\frac {4}{6^{s}}}+{\frac {2}{7^{s}}}+\cdots ,$

wobei $d(n)$ die Teileranzahlfunktion darstellt, welche zählt, wie viele natürliche Teiler eine Zahl $n$ besitzt. Dieses Resultat ergibt sich über die so genannte Dirichlet-Faltung zweier Dirichlet-Reihen. Ganz allgemein hat man:

$\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}},$

wobei $\sigma _{a}(n)$ die verallgemeinerte Teilerfunktion ist.

Mit der Möbiusfunktion erhält man eine Dirichlet-Reihe, die den Kehrwert der $\zeta$-Funktion erzeugt. Es gilt dann:

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}-{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}-{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots .$

Zur Erklärung dieses Zusammenhangs betrachtet man:

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots ,$

also einfach den Kehrwert des Euler-Produkts, und bildet durch konsequentes Ausmultiplizieren die dazugehörige Dirichlet-Reihe, die sich dann definitionsgemäß über jene Möbiusfunktion erstreckt.

Spezielle Funktionswerte

Funktionswerte für gerade natürliche Zahlen

Für eine positive ganze Zahl $n$ ist

$\zeta (2n)=(-1)^{n-1}\,{\frac {(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}\,B_{2n},$

wobei $B_{2n}$ die $2n$-te Bernoulli-Zahl bezeichnet.

Beispielsweise ist

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}},\quad \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}.$

Diese Formeln wurden von Euler entdeckt und 1735 in seiner Arbeit De Summis Serierum Reciprocarum erstmals veröffentlicht. Das Auffinden des Werts von $\zeta (2)$ ist auch als das Basler Problem bekannt.

Daneben gibt es auch die bemerkenswerte Rekursionsformel

$\zeta (2n)={\frac {1}{n+{1 \over 2}}}\cdot \sum _{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\cdot \zeta (2(n-k))$

für natürliche Zahlen $n>1$, die Euler noch nicht bekannt war.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, und ebenso die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gewählte Zahlen teilerfremd sind, ist gleich

${\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}=0,60792{\text{ }}71018{\text{ }}54026{\text{ }}62866{\text{ }}...$   (Folge A059956 in OEIS).

Allgemeiner ist $1/\zeta (nk)$ die Wahrscheinlichkeit, dass $n$ positive ganze Zahlen keine $k$-te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.

Funktionswerte für ungerade natürliche Zahlen

Über den Wert der Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen ist nur sehr wenig bekannt. Beispielsweise weiß man, dass die Apéry-Konstante $\zeta (3)$ irrational ist.

Die Dezimalentwicklungen der ersten ungeraden Zeta-Werte sind:

$\zeta (3)=1{,}20205{\text{ }}69031{\text{ }}59594{\text{ }}28539{\text{ }}97381\ldots$   (Folge A002117 in OEIS)

$\zeta (5)=1{,}03692{\text{ }}77551{\text{ }}43369{\text{ }}92633{\text{ }}13654\ldots$   (Folge A013663 in OEIS)

$\zeta (7)=1{,}00834{\text{ }}92773{\text{ }}81922{\text{ }}82683{\text{ }}97975\ldots$   (Folge A013665 in OEIS)

$\zeta (9)=1{,}00200{\text{ }}83928{\text{ }}26082{\text{ }}21441{\text{ }}78527\ldots$   (Folge A013667 in OEIS)

Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen

Aus der Funktionalgleichung und Eulers Formel für gerade Zeta-Werte gelangt man für eine natürliche Zahl $n>0$ zu:

$\zeta (1-2n)={\frac {2}{(2\pi )^{2n}}}\,\cos(\pi n)\,(2n-1)!\,(-1)^{n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}B_{2n}=-{\frac {B_{2n}}{2n}}.$

Aus $B_{n}=0$ für ungerade $n$ geht schließlich die für alle natürlichen Zahlen $k>0$ gültige Darstellung

$\zeta (1-k)=-{\frac {B_{k}}{k}}$

hervor, mit deren Hilfe man insbesondere

$\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\cdots =0$

ableiten kann. Weitere Werte sind:

$\zeta (0)=-{\frac {1}{2}},\quad \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}},\quad \zeta (-3)={\frac {1}{120}}.$

Funktionswerte für halbzahlige Argumente

Auch die Funktionswerte für halbzahlige Argumente sind interessant, und zwar gilt

$\zeta (1/2)=-1{,}46035{\text{ }}45088{\text{ }}09586{\text{ }}81288{\text{ }}94991\ldots$   (Folge A059750 in OEIS),

$\zeta (3/2)=2{,}61237{\text{ }}53486{\text{ }}85488{\text{ }}34334{\text{ }}85675\ldots$   (Folge A078434 in OEIS).

Dieser Wert wird u. a. in der Physik bei der Berechnung der kritischen Temperatur für die Ausbildung eines sog. Bose-Einstein-Kondensats und in der Spinwellen-Theorie bei magnetischen Systemen benötigt.

$\zeta (5/2)=1{,}34148{\text{ }}72572{\text{ }}50917{\text{ }}17975{\text{ }}67696\ldots$,

$\zeta (7/2)=1{,}12673{\text{ }}38673{\text{ }}17056{\text{ }}64642{\text{ }}78124\ldots$.

Nullstellen

Die ersten "trivialen" Nullstellen der $\zeta$-Funktion.

In Blau ist der Realteil und in Rot der Imaginärteil der Funktion $\zeta (1/2+ix)$ dargestellt, so dass man klar die ersten nichttrivialen Nullstellen erkennen kann.

Triviale Nullstellen

Aus der Produktdarstellung kann man leicht folgern, dass $\zeta (s)\not =0$ für $\mathrm {Re} \,s>1$ gilt. Zusammen mit der Funktionalgleichung ergibt sich, dass die einzigen Nullstellen außerhalb des kritischen Streifens

$\{s\in \mathbb {C} \mid 0\leq \mathrm {Re} \,s\leq 1\}$

die „trivialen“ Nullstellen $-2,-4,-6,\ldots$ sind.

Die Riemannsche Vermutung

→ Hauptartikel: Riemannsche Vermutung

Die Lage der Nullstellen im kritischen Streifen hängt eng mit Aussagen über die Verteilung der Primzahlen zusammen. Beispielsweise ist die Aussage, dass auf dem Rand des kritischen Streifens keine Nullstellen liegen, ein möglicher Zwischenschritt beim Beweis des Primzahlsatzes. Weitere Vergrößerungen des „nullstellenfreien Bereiches“ implizieren Restgliedabschätzungen im Primzahlsatz. Riemann vermutete im Jahr 1859, dass alle Nullstellen auf der parallel zur imaginären Achse verlaufenden Geraden $\{s\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Re} \,s=1/2\}$ liegen. Diese so genannte riemannsche Vermutung konnte bislang weder bewiesen noch widerlegt werden.

Der Verlauf der Zeta-Funktion in der komplexen Ebene, besonders entlang von parallel zur imaginären Achse verlaufenden Streifen, wird wegen des Zusammenhangs mit der Primzahlverteilung und des davon unmittelbar betroffenen sogenannten Faktorisierungsproblems seit kurzem auch gezielt mit physikalischen Methoden untersucht, und zwar mit Interferenz-Methoden analog zur Holographie. Man teilt dazu die definierende Summe in zwei Teile mit positiver bzw. negativer Phase auf, ψ bzw. ψ^*, die man anschließend zur Interferenz bringt.

Die Imaginärteile der „ersten“ Nullstellen sind beispielsweise

±k	±Im ρk
1	14,134725141734693790…
2	21,022039638771554993…
3	25,010857580145688763…
4	30,424876125859513210…

Über die Eigenschaften dieser Imaginärteile (Irrationalität, Transzendenz, …) ist bis heute nahezu nichts bekannt.

Ableitung

Ein Ableitungsausdruck der $\zeta$-Funktion ergibt sich aus gliedweiser Differenzierung ihrer Dirichlet-Reihe:

$\zeta '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots \right)=-\left({\frac {\log 2}{2^{s}}}+{\frac {\log 3}{3^{s}}}+{\frac {\log 4}{4^{s}}}+\cdots \right)=-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\log n}{n^{s}}}.$

Somit ist ihre Ableitung die Dirichlet-erzeugende Funktion der Folge $a_{n}=-\log n$.

Für die $k$ -te Ableitung gilt allgemein:

$\zeta ^{(k)}(s)=(-1)^{k}\,\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(\log n)^{k}}{n^{s}}}.$

Hierbei sei natürlich wieder $\scriptstyle \mathrm {Re} \;s>1$ vorausgesetzt.

Eine weitere Formel für die Ableitung der $\zeta$-Funktion lässt sich mittels logarithmischer Ableitung, also über die Identität:

${\frac {\left(\prod _{k}f_{k}\right)'}{\prod _{k}f_{k}}}=\sum _{k}{\frac {f'_{k}}{f_{k}}}$

gewinnen. Setzt man hier $f_{k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}}}$ für die $k$-te Primzahl (Euler-Produkt), ergibt sich:

$\zeta '(s)=-\zeta (s)\sum _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {\log p}{p^{s}-1}}=-\zeta (s)\left({\frac {\log 2}{2^{s}-1}}+{\frac {\log 3}{3^{s}-1}}+{\frac {\log 5}{5^{s}-1}}+{\frac {\log 7}{7^{s}-1}}+\cdots \right).$

Für alle negativen ganzen Zahlen $-2n=-2,-4,-6,-8,...$ erhält man insbesondere:

$\zeta '(-2n)=(-1)^{n}{\frac {\zeta (2n+1)(2n)!}{2^{2n+1}\pi ^{2n}}}.$

Daraus ergeben sich unter anderem die Werte:

$\zeta '(-2)=-{\frac {\zeta (3)}{4\pi ^{2}}},\quad \zeta '(-4)={\frac {3\zeta (5)}{4\pi ^{4}}},\quad \zeta '(-6)=-{\frac {45\zeta (7)}{8\pi ^{6}}}.$

Andere Werte sind:

$\zeta '(0)=-{\frac {1}{2}}\log 2\pi ,\quad \zeta '(-1)={\frac {1}{12}}-\log A,$

wobei $A$ hier die Glaisher-Kinkelin-Konstante bezeichnet.

Stammfunktion

Eine Stammfunktion der $\zeta$-Funktion ist gegeben durch:

$\int \zeta (s)\,\mathrm {d} s=s-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}\log n}}+C.$

Andere Ausdrücke für die ζ-Funktion

Beziehung zur η-Funktion

Eine Möglichkeit, den Definitionsbereich der $\zeta$-Funktion auf die gesamte rechte Halbebene $\mathbb {H} =\{s\in \mathbb {C} |\mathrm {Re} s>0\}$ auszudehnen, ergibt sich über einen Bezug zur Dirichlet-Reihendarstellung der Dirichletschen η-Funktion.

$\eta (s)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}-\cdots$

Man erhält:

$\eta (s)+{\frac {2}{2^{s}}}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}+{\frac {2}{2^{s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{(2n-1)^{s}}}-{\frac {1}{(2n)^{s}}}+{\frac {2}{(2n)^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).$

Stellt man diese Gleichung um, ergibt sich der Ausdruck für $\mathrm {Re} s>0$:

$\zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}}.$

Integraldarstellungen

→ Hauptartikel: Mellin-Transformation

Über den folgenden Rechenweg mittels Benutzung der geometrischen Reihe,

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathrm {e} ^{-n\,x}\mathrm {d} x=\sum \limits _{n=1}^{\infty }n^{-s}\int \limits _{0}^{\infty }t^{s-1}\,\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t,$

ergibt sich mit Hilfe der Definition der Gamma-Funktion $\Gamma$ für $\scriptstyle \mathrm {Re} \,s>1$ die Beziehung

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\,\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x.$

Eine weitere Integraldarstellung, welche sogar für $\scriptstyle \mathrm {Re} \,s>0$ gilt, ist gegeben durch

$\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-{\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}-x-1}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,{\frac {x^{s-2}}{\mathrm {e} ^{x}}}\,\mathrm {d} x.$

Der Ausdruck

$\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}+s\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {[x]-x}{x^{s+1}}}\,\mathrm {d} x$

mit dem Ganzzahlwert $\scriptstyle [x]=\max\{n\in \mathbb {Z} ;\;n\leq x\}$ ist ebenfalls für $\scriptstyle \mathrm {Re} \,s>0$ gültig. Diese Formel ergibt sich aus der letzten Summenformel im weiter unten stehenden Abschnitt bezüglich $\scriptstyle \mathbb {C}$ für $\scriptstyle q=1$.

Für alle $s\in \mathbb {C} \setminus \{1\}$ erhält man die Integralrelation

$\zeta (s)={\frac {2^{s-1}}{s-1}}-2^{s}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{(1+t^{2})^{\frac {s}{2}}(\mathrm {e} ^{\pi \,t}+1)}}\,\mathrm {d} t,$

die auch zur numerischen Berechnung der Zeta-Funktion herangezogen werden kann. Ein ähnlicher Ausdruck ergibt sich über die Integraldarstellung der Lerchschen Zeta-Funktion:

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{(1+t^{2})^{\frac {s}{2}}(\mathrm {e} ^{2\,\pi \,t}-1)}}\,\mathrm {d} t.$

Summenformeln

Zerlegt man das erste Integral aus dem vorherigen Abschnitt in die beiden Intervalle $\scriptstyle [0,\,1]$ und $\scriptstyle [1,\,\infty ]$, so erhält man über eine Transformation unter Zuhilfenahme der Bernoulli-Zahlen $B_{\nu }$, die über

${\frac {x}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\equiv \sum \limits _{\nu =0}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{\nu !}}x^{\nu }$

für $\scriptstyle |x|<2\,\pi$ definiert sind, die Summenformel

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\left({\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{2s}}+\sum \limits _{\nu =2}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{\nu !}}{\frac {1}{s+\nu -1}}+\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\right).$

Einen anderen Weg, um zu einem Summenausdruck zu gelangen, stellt die Anwendung der Euler-MacLaurin-Summenformel,

$\sum \limits _{n=2}^{N}f(n)=\int \limits _{1}^{N}f(x)\,\mathrm {d} x\,+\,\sum \limits _{\nu =1}^{q}(-1)^{\nu }\,{\frac {B_{\nu }}{\nu !}}\,\left(f^{(\nu -1)}(N)-f^{(\nu -1)}(1)\right)\,-\,{\frac {(-1)^{q}}{q!}}\int \limits _{1}^{N}B_{q}(x-[x])\,f^{(q)}(x)\,\mathrm {d} x,$

dar, wobei $f$ als Mindestvoraussetzung eine auf dem Intervall $[1,N]$ $q$-mal differenzierbare Funktion ist, $B_{\nu }(x)$ die Bernoulli-Polynome sind und $[x]$ den ganzzahligen Anteil von $x$ darstellt. Indem man $\zeta (s)=1+\lim _{N\to \infty }\sum \limits _{n=2}^{N}n^{-s}$ mit der Summenformel umwandelt, erhält man den Ausdruck

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\,+\,{\frac {1}{2}}\,+\,\sum \limits _{\nu =2}^{q}{\frac {B_{\nu }}{\nu !}}\,\prod \limits _{k=0}^{\nu -2}(s+k)\,-\,{\frac {1}{q!}}\,\prod \limits _{k=0}^{q-1}(s+k)\,\int \limits _{1}^{\infty }B_{q}(x-[x])\,x^{-(s+q)}\,\mathrm {d} x.$

Diese Formel gilt nicht nur für die Ebene $\scriptstyle \mathrm {Re} \,s>1$, sondern sogar für $\scriptstyle \mathrm {Re} \,s>1-q$ (wobei natürlich wieder $\scriptstyle s\neq 1$ sei). Durch die freie Wahl von $\scriptstyle q\in \mathbb {N}$ kann man den Definitionsbereich beliebig ausdehnen und hat damit einen Ausdruck für ganz $\scriptstyle \mathbb {C}$.

Reihenentwicklungen

Die Laurentreihe um $s=1$ hat die Form

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum \limits _{\nu =0}^{\infty }{\frac {(-1)^{\nu }}{\nu !}}\,\gamma _{\nu }\,(s-1)^{\nu }$;

bei den Koeffizienten

$\gamma _{\nu }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\log ^{\nu }k}{k}}-{\frac {\log ^{\nu +1}n}{\nu +1}}\right)$

handelt es sich um die Stieltjes-Konstanten, wobei $\gamma _{0}=\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante ist, für die sich daraus insbesondere der Ausdruck

$\gamma =\lim _{s\to 1}\left[\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right]$

ergibt.

Helmut Hasse hat die von Konrad Knopp veröffentlichte und auf ganz $\mathbb {C} \setminus \{2\,\pi \,i\,m/\log 2+1;\;m\in \mathbb {Z} \}$ definierte Reihe

$\zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(k+1)^{-s}$

1930 bewiesen.

Produktentwicklung

Über den Produktsatz von Weierstraß für holomorphe Funktionen ist es möglich, die Zeta-Funktion anhand ihrer Nullstellen über ein Produkt der Form

$\zeta (s)=f(s)\prod _{\zeta (\omega )=0}\left(1-{\frac {s}{\omega }}\right)\,\mathrm {e} ^{s/\omega }$

explizit zu rekonstruieren, wobei $f(s)$ eine auf das Produkt multiplizierte und meist elementare Funktion darstellt. Im Falle der Zeta-Funktion ergibt sich für $f$ die Funktion $f(s)={\frac {1}{2(s-1)}}\left({\frac {2\pi }{\mathrm {e} }}\right)^{s}$ und somit unter Verwendung der trivialen sowie nicht-trivialen Nullstellen:

$\zeta (s)={\frac {1}{2(s-1)}}\left({\frac {2\pi }{\mathrm {e} }}\right)^{s}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {s}{2n}}\right)\,\mathrm {e} ^{-s/(2n)}\,\cdot \,\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\,\mathrm {e} ^{s/\rho }.$

Unter Zuhilfenahme der Produktentwicklung der Gamma-Funktion

${\frac {1}{\Gamma (1+s)}}=\mathrm {e} ^{\gamma s}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {s}{n}}\right)\mathrm {e} ^{-s/n}$

erhält man das Hadamard-Produkt, benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard, das global in $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ konvergiert:

$\zeta (s)={\frac {\mathrm {e} ^{(\log(2\pi )-1-\gamma /2)s}}{2(s-1)\,\Gamma (1+s/2)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\mathrm {e} ^{s/\rho }.$

Eine etwas einfachere Form des Hadamard-Produktes ist:

$\zeta (s)={\frac {\pi ^{s/2}}{2(s-1)\Gamma (1+s/2)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right).$

Besonders diese letzte Darstellung verdeutlicht, dass sich die $\zeta$-Funktion im Prinzip komplett aus ihren Nullstellen und ihrer Singularität bei $s=1$ konstruieren lässt.

Beziehung zur Thetafunktion

Eine weitere Möglichkeit, die Riemannsche $\zeta$-Funktion analytisch fortzusetzen, ist eine Umtransformation des Integrals

$\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s/2-1}\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {d} x$

mittels der jacobischen Theta-Reihe, die man klassisch über

$\vartheta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\pi i\tau n^{2}+2\pi inz}$

definiert. Für den speziellen Theta-Nullwert

$\theta (\tau ):=\vartheta (0,\tau i)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi \tau n^{2}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi \tau n^{2}},$

oder alternativ

$\omega (\tau ):={\frac {1}{2}}(\vartheta (0,\tau i)-1)={\frac {1}{2}}(\theta (\tau )-1)=\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi \tau n^{2}},$

erhält man die nützliche Transformationsformel

$\theta \left({\frac {1}{\tau }}\right)={\sqrt {\tau }}\theta (\tau ),$

die sich mittels Fourier-Transformation ableiten lässt. Mit der Substitution $x=\pi tn^{2}$ in das obere Integral erhält man über die gewöhnliche Mellin-Transformation:

$\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{s/2}\int \limits _{0}^{\infty }t^{s/2-1}\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi tn^{2}}\mathrm {d} t={\frac {\pi ^{s/2}}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }t^{s/2}(\theta (t)-1){\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\pi ^{s/2}\int \limits _{0}^{1}t^{s/2}\omega (t){\frac {\mathrm {d} t}{t}}+\pi ^{s/2}\int \limits _{1}^{\infty }t^{s/2}\omega (t){\frac {\mathrm {d} t}{t}}.$

Mit Hilfe einer erneuten Substitution $t=1/x$ in das erste Integral und der Theta-Transformationsformel erhält man:

$\int \limits _{0}^{1}t^{s/2}\omega (t){\frac {\mathrm {d} t}{t}}={\frac {1}{s(s-1)}}+\int \limits _{1}^{\infty }x^{(1-s)/2}\omega (x){\frac {\mathrm {d} x}{x}}.$

Zusammengefasst ergibt dies:

$\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}={\frac {1}{s(s-1)}}+\int \limits _{1}^{\infty }x^{(1-s)/2}\omega (x){\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }t^{s/2}\omega (t){\frac {\mathrm {d} t}{t}}={\frac {1}{s(s-1)}}+\int \limits _{1}^{\infty }(t^{(1-s)/2}+t^{s/2})\omega (t){\frac {\mathrm {d} t}{t}}.$

Dieser Ausdruck konvergiert in ganz $\mathbb {C} \setminus \{0,1\}$ und ist unter der Abbildung $s\to 1-s$ invariant, d.h.

$\!\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{(s-1)/2};$

hieraus kann die schon oben erwähnte Funktionalgleichung der $\zeta$-Funktion gewonnen werden.

Beziehung zur Polygammafunktion

Espinosa und Moll haben 2003 die Relation

$\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}+\psi (1-s)+\gamma \right)\zeta (s)=\Gamma (1-s)\,\psi _{s-1}(1)$

mit der Digammafunktion $\psi (z)$ und der auf komplexe Ordnungen $s$ verallgemeinerten Polygammafunktion $\psi _{s}(z)$ aufgezeigt. Unter Ausnutzung der Beziehung

$\zeta (s,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}})=\left(2^{s}-1\right)\zeta (s)$

zur Hurwitzschen Zeta-Funktion und Einsetzen in die allgemeinere Relation

$\left({\frac {\partial }{\partial s}}+\psi (1-s)+\gamma \right)\zeta (s,z)=\Gamma (1-s)\,\psi _{s-1}(z)$

gelangt man zu

$\zeta (s)={\frac {\Gamma (1-s)}{2^{s}\log 2}}\left(\psi _{s-1}({\scriptstyle {\frac {1}{2}}})-\left(2^{s}-1\right)\psi _{s-1}(1)\right).$

Damit gehören die Nullstellen der ζ-Funktion zu den Lösungen ρ der Gleichung

$\psi _{\rho -1}({\scriptstyle {\frac {1}{2}}})=\left(2^{\rho }-1\right)\,\psi _{\rho -1}(1).$

Verallgemeinerungen und andere Zeta-Funktionen

Es wurden diverse Funktionen betrachtet, deren Definition der der Riemannschen Zeta-Funktion ähnelt; diese wurden dann auch „Zeta-Funktion“ mit dem Namen ihres „Entdeckers“ genannt. Insbesondere sei hier auf die dedekindsche Zeta-Funktion, die hurwitzsche Zeta-Funktion und die lerchsche Zeta-Funktion verwiesen, siehe auch Liste aller Zeta-Funktionen.

Literatur

Zur Mathematik:

• Harold Edwards: Riemann’s Zetafunction. Dover, 2001, ISBN 0-486-41740-9. 
• Eugen Jahnke: Tafeln höherer Funktionen. Teubner, Stuttgart 1966. 
• Peter Meier, Jörn Steuding: Wer die Zetafunktion kennt, kennt die Welt! In: Spektrum der Wissenschaft Dossier 6/2009: „Die größten Rätsel der Mathematik“. ISBN 978-3-941205-34-5, S. 12–19. 
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6. 
• Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. 1951. 
• Don Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper. Springer, Berlin; Heidelberg; New York 1981, ISBN 3-540-10603-0 (Teil 1, insbesondere § 4). 

Zur Geschichte:

• Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. 4. Auflage. Beck, München 2005, ISBN 3-406-52320-X. 

Weblinks

Commons: Riemannsche ζ-Funktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Zetagrid
• Graph der Riemannschen Zeta-Funktion (Animation)
• Bernhard Schiekel: Zeta-Funktionen in der Physik - eine Einführung (PDF-Datei; 2.4 MB)

Die folgenden Arbeiten sind englisch, aktuell und verschaffen einen schnellen Überblick:

• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Definition (PDF-Datei; 68 kB)
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Allgemeines (PDF-Datei; 97 kB)
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Numerische Berechnung (PDF-Datei; 162 kB)
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Nullstellen (PDF-Datei; 112 kB)
• P. Cerone: Bounds for Zeta and Related Functions. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Band 6, Nr. 5, 2005 (enthält Abschätzungen der Zetafunktion für ungerade $n$; PDF-Datei; 248 kB)
• Funktionswerte für $n=2,3,\ldots ,10$