Körper (Algebra)

Körper

berührt die Spezialgebiete

Mathematik

ist Spezialfall von

additive Abelsche Gruppe
kommutativer Ring
Schiefkörper
Vektorraum

umfasst als Spezialfälle

Ein Körper (engl.: field) ist eine mathematische Struktur aus einer Menge $K$ und zwei Verknüpfungen, die einige wichtige Eigenschaften erfüllen. Diese beiden Verknüpfungen werden Addition („+“) und Multiplikation („ $\cdot$ “) genannt; dennoch können sie sich von den üblichen Grundrechenarten erheblich unterscheiden. Die Bezeichnung wurde Anfang des 19. Jahrhunderts von Richard Dedekind eingeführt.

Formale Definition

Eine Menge $K$ mit zwei Verknüpfungen + und * ist ein Körper, wenn gilt:

$(K,+)$ ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element als $0$ bezeichnet wird
$(K\setminus \{0\},*)$ ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element als $1$ bezeichnet wird
es gilt das Distributivgesetz $a*(b+c)=a*b+a*c$

Diese Definition sorgt dafür, dass Multiplikation und Addition in der „gewohnten“ Weise funktionieren. Das Inverse von $a$ bezüglich der Addition ist $-a\,$ und wird meist das Negative von $a$ oder auch das „additiv Inverse“ zu $a$ genannt; das Inverse von $a$ bezüglich der Multiplikation ist $a^{-1}$ und wird das multiplikativ Inverse oder nur Inverse oder der Kehrwert von $a$ genannt. Die $0$ ist das einzige Element eines Körpers, das keinen Kehrwert hat, die multiplikative Gruppe eines Körpers ist also $K^{\times }=K\setminus \{0\}$ .

Anmerkung: Die Bildung des Negativen eines Elementes hat nichts mit der Frage zu tun, ob das Element selbst negativ ist; beispielsweise ist das Negative der reellen Zahl $-2$ die positive Zahl 2. In einem allgemeinen Körper gibt es keinen Begriff von negativen oder positiven Elementen. (Siehe auch geordneter Körper.)

Eigenschaften

Jeder Körper ist ein Ring. Die Eigenschaften der multiplikativen Gruppe heben den Körper aus den Ringen heraus. Wenn die Kommutativität der multiplikativen Gruppe nicht gefordert wird, erhält man den Begriff des Schiefkörpers.

Jeder Körper ist ein Vektorraum über sich selbst (das heißt mit sich selbst als zugrundeliegendem Skalarkörper).

Beispiele

Bekannte Beispiele für Körper sind die Menge der rationalen Zahlen $({\mathbb {Q}},+,\cdot )$ , die Menge der reellen Zahlen $(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ und die Menge der komplexen Zahlen $({\mathbb {C}},+,\cdot )$ jeweils mit der üblichen Addition und Multiplikation.

Kompliziertere Beispiele sind endliche Körper und die p-adischen Zahlen.

Ein Gegenbeispiel bildet die Menge der ganzen Zahlen $({\mathbb {Z}},+,\cdot )$ : Zwar ist $({\mathbb {Z}},+)$ eine Gruppe mit neutralem Element $0$ jedes $a\in {\mathbb {Z}}$ besitzt das additive Inverse $-a$ , aber $({\mathbb {Z}}\setminus \{0\},\cdot )$ ist keine Gruppe. Immerhin ist $1$ das neutrale Element, aber außer zu $1$ und $-1$ gibt es keine multiplikativen Inversen (zum Beispiel ist $3^{-1}=1/3$ keine ganze, sondern eine echt rationale Zahl). Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, sondern lediglich einen Integritätsring, dessen Quotientenkörper die rationalen Zahlen sind.

Unterkörper

Ein Unter- bzw. Teilkörper ist eine Teilmenge eines Körpers, die mit den Operationen des Oberkörpers wieder einen Körper bildet. Dazu müssen folgende Aussagen für einen Unterkörper $U$ eines Körpers $K$ gelten:

$a,b\in U\ \Rightarrow \ a+b\in U,\ a\cdot b\in U$ (Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation)
$1_{K},\ 0_{K}\in U$ (Die neutralen Elemente von $K$ sind in $U$ )
$a\in U\ \Rightarrow \ -a\in U$ (Jedes additive Inverse von $U$ ist in $U$ )
$a\in U\setminus \{0\}\ \Rightarrow \ a^{-1}\in U$ (Jedes multiplikative Inverse von $U$ (außer das der $0$ ) ist in $U$ )

Beispiel:

Der Körper der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ ist ein Unterkörper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ .

$\mathbb {Q}$ ist sogar der kleinst mögliche Unterkörper von $\mathbb {R}$ , d.h. jeder Unterkörper von $\mathbb {R}$ enthält mindestens $\mathbb {Q}$ .

Endliche Körper

Ein Körper ist ein endlicher Körper, wenn seine Grundmenge $K$ endlich ist. Die endlichen Körper sind in folgendem Sinne vollständig klassifiziert: Jeder endliche Körper hat genau $q=p^{n}$ Elemente mit einer Primzahl $p$ und einer positiven natürlichen Zahl $n$ . Bis auf Isomorphie gibt es zu jedem solchen $q=p^{n}$ nur genau einen endlichen Körper, der mit ${\mathbb {F}}_{q}$ bezeichnet wird. Jeder Körper ${\mathbb {F}}_{p^{n}}$ hat die Charakteristik $p$ .

Im Spezialfall $n=1$ erhalten wir zu jeder Primzahl $p$ den Körper ${\mathbb {F}}_{p}$ , der isomorph zum Restklassenring $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ist.

Schiefkörper

In einem Schiefkörper müssen alle Körpereigenschaften bis auf die Kommutativität der Multiplikation gelten. Alle Körper sind Schiefkörper. Die Quaternionen bilden beispielsweise einen Schiefkörper, aber keinen Körper. Jeder endliche Schiefkörper ist bereits ein Körper (Satz von Wedderburn).

Siehe auch