Die Transitivität einer binären Relation R ist gegeben, wenn aus xRy und yRz stets xRz folgt. Die Transitivität ist eine der Voraussetzungen, damit R eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation ist.
Beispiele
Ordnung der reellen Zahlen
Das Kleiner-Zeichen < auf den reellen Zahlen ist transitiv und definiert darüber hinaus eine strenge Halbordnung:
Aus x<y und y<z folgt immer x<z.
Ebenso sind die Relationen , und transitiv.
Das Ungleichheitszeichen auf den reellen Zahlen ist hingegen nicht transitiv:
und , aber gilt natürlich nicht.
Identität der reellen Zahlen
Die gewöhnliche Identität = auf den reellen Zahlen ist transitiv und eine Äquivalenzrelation:
Aus x=y und y=z folgt immer x=z.
Teilbarkeit der ganzen Zahlen
Die Teilbarkeit der ganzen Zahlen ist transitiv und definiert eine partielle Halbordnung:
Aus a | b und b | c folgt a | c.
Eine nicht transitive Relation ist zum Beispiel die Teilerfremdheit. So sind 12 und 5 teilerfremd, ebenso 5 und 9, jedoch haben 12 und 9 den gemeinsamen Teiler 3.
Teilmenge
Die Teilmengenrelation von Mengen ist transitiv und definiert eine partielle Halbordnung:
Aus und folgt .
Eine nicht transitive Relation ist zum Beispiel die disjunkt-Relation. So sind die Mengen und disjunkt, ebenso sind und disjunkt, nicht aber und , denn .
Geometrisches Beispiel: parallele Geraden
In der Geometrie ist die Parallelität von Geraden ein Beispiel einer transitiven Relation: Sind sowohl die Geraden und parallel als auch die Geraden und , so sind auch die Geraden und parallel.
Die Relation "ist parallel zu" ist eine Äquivalenzrelation.
Implikation der Prädikatenlogik
In der Logik gilt die Transitivität bezüglich der Implikation, wobei dies in der Prädikatenlogik auch als Modus barbara oder -leicht abgewandelt - als Modus Ponens bekannt ist:
Aus und folgt . (vergleiche auch: Schnittregel)
Die Implikation definiert eine Quasiordnung auf den logischen Aussagen.
Verallgemeinerungen
Die Transitivtät erlaubt auch Schlüsse über mehrere Schritte hinweg. So folgt aus , und zunächst wegen der Transitivität und durch nochmalige Anwendung der Transitivität auch .
Allgemein lässt sich durch vollständige Induktion zeigen, dass sich die Transitivität auf eine beliebig große, aber endliche Anzahl von Schritten anwenden lässt: Gilt für jeweils die Relation , so folgt aus der Transitivität auch .
