Zerschmetterte Menge

In den Bereichen Gruppentheorie und Mengenlehre der Mathematik ist das Konzept des Zerschmetterns sehr bedeutend.

Definition

Sei (X, $\Gamma$) ein Mengensystem und $A\subseteq X$. $A$ wird $\Gamma$-zerschmettert $:\Leftrightarrow \{F\cap A|F\in \Gamma \}=P(A)$, d.h. genau dann wenn man jede beliebige Teilmenge von A durch Schnitt einer Teilmengen aus $\Gamma$ mit A erzeugen kann.

Beispiel

Sei $X=\mathbb {R} ^{2}$, $\Gamma$=alle abgeschlossenen Halbebenen im $\mathbb {R} ^{2}$. Ist jetzt $A$ = drei Punkte im $\mathbb {R} ^{2}$, die nicht auf einer Gerade liegen, so wird $A$ von $\Gamma$ zerschmettert, da man jede der Teilmengen der drei Punkte mittels einer abgeschlossener Halbebene separieren kann. Liegen die Punkte dagegen alle auf einer Gerade, so kann der mittlere Punkt nicht von den anderen beiden separiert werden und somit wird $A$ nicht von $\Gamma$ zerschmettert.