Eine Folge ist eine Abbildung f der natürlichen Zahlen in eine Menge A , im engeren Sinne meist auf die reellen Zahlen .
f
:
N
→
A
{\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow A}
f
:
N
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} }
Das i. Folgenglied
a
i
{\displaystyle a_{i}}
a
i
:=
f
(
i
)
,
i
∈
N
{\displaystyle a_{i}:=f(i),\quad i\in \mathbb {N} }
Von wesentlicher Bedeutung für die Analysis sind die unendlichen Folgen und ihre Grenzwerte .
Beispiele
Folgen in den reellen Zahlen
Die Inversen:
a
i
=
1
i
⇒
a
1
=
1
,
a
2
=
0.5
,
a
3
=
0.
3
¯
,
…
{\displaystyle a_{i}={1 \over i}\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}=0.5,\ a_{3}=0.{\bar {3}},\ \dots }
Folgen in den ganzen Zahlen
Die natürlichen Zahlen:
a
i
=
i
⇒
a
1
=
1
,
a
2
=
2
,
a
3
=
3
,
…
{\displaystyle a_{i}=i\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}=2,\ a_{3}=3,\ \dots }
Die Quadrate der ganzen Zahlen:
a
i
=
i
2
⇒
a
1
=
1
,
a
2
=
4
,
a
3
=
9
,
…
{\displaystyle a_{i}=i^{2}\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}=4,\ a_{3}=9,\ \dots }
Die ungeraden natürlichen Zahlen:
a
i
=
2
⋅
i
−
1
⇒
a
1
=
1
,
a
2
=
3
,
a
3
=
5
,
…
{\displaystyle a_{i}=2\cdot i-1\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}=3,\ a_{3}=5,\ \dots }
Folgen in Mengen
a
i
=
{
1
,
…
,
i
}
⇒
a
1
=
{
1
}
,
a
2
=
{
1
,
2
}
,
a
3
=
{
1
,
2
,
3
}
,
…
{\displaystyle a_{i}=\{1,\dots ,i\}\Rightarrow a_{1}=\{1\},\ a_{2}=\{1,2\},\ a_{3}=\{1,2,3\},\ \dots }
