Mandelbrot-Menge
Die Mandelbrot-Menge, auch Apfelmännchen genannt, ist ein Fraktal, das aufgrund seiner leichten graphischen Darstellung und seiner attraktiven Gestalt das wohl bekannteste fraktale Objekt ist.
Die Menge ist nach ihrem Entdecker Benoit Mandelbrot benannt.
Die Mandelbrot-Menge wird in den komplexen Zahlen berechnet, und in der komplexen Zahlenebene dargestellt. Dabei wird für jeden Punkt in der Ebene ein Iterationsprozess benutzt, um die Helligkeit oder Färbung des Punktes zu finden: Je schneller der Iterationsprozess eine gewisse Grenze überschreitet, desto heller wird der Punkt gezeichnet. Punkte, die nach einer Gewissen Anzahl von Iterationen die Grenze nicht überschritten haben, werden als konvergent betrachtet, und i.a. schwarz dargestellt.
Der beschriebene Iterationsprozess ist eine Approximation an die exakte mathematische Definition der Mandelbrot-Menge:
- Die Mandelbrot-Menge M ist die Menge aller Elemente c der Komplexen Zahlen, für die durch den Iterationsprozess (z0, z1, z2, ...) definierte Folge nicht divergiert, d.h. die Werte nicht unendlich groß werden.
- Der Iterationsprozess beginnt mit
- z0 = 0
- Der Iterationsschritt ist
- zn+1 = zn2 + c
Es ist bekannt, dass die Iterationsfolge divergiert, wenn der Betrag eines Folgengliedes den Wert 2 überschreitet. Diese Kriterium wird genutzt, um die Divergenzgeschwindigkeit der Iteration farblich darzustellen.
Die Mandelbrot-Menge ist verwandt mit den Julia-Mengen.