Rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt man a / b), wobei der Nenner (hier b) ungleich null ist. Man nennt rationale Zahlen auch Brüche.

Mathematisch gesehen, definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen (a, b), wobei wieder b ungleich null ist. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln:

(a, b) + (c, d) = (a * d + b *c, b * d)

(a, b) * (c, d) = (a * c, b * d)

Einhergehend mit unserer Erwartung, dass 2/4 = 1/2 sein soll, führen wir eine Äquivalenzrelation ~ auf diesen Paaren mit der folgenden Regel ein:

(a, b) ~ (c, d) genau dann wenn, a * d = b * c.

Wie nach den obigen Regeln definiert (als Quotientenmenge, definiert durch ~), bildet die Menge der rationalen Zahlen, ℚ genannt, einen Körper. Man kann zeigen, dass ℚ der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen enthält.

Rationale Zahlen liegen "dicht", das heißt: Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). (Man nehme einfach das Arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen:

c := (a+b)/2

Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen "gleichmächtig" zu der Menge der Natürlichen Zahlen ist. Das heißt: es gibt eine Bijektive Abbildung zwischen ℚ und ℕ, die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt. Siehe dazu auch: Gödelisierung

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