Schnittwinkel (Geometrie)

Schnittwinkel in Graphen

α ist der Schnittwinkel zwischen f und g.

Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Geraden mit der Steigung $m_{1}$ bzw. $m_{2}$ (oder allgemeiner: zwischen zwei Kurven mit Ableitung $m_{1}$ bzw. $m_{2}$ in dem Schnittpunkt) berechnet sich mittels:

$\tan \alpha =\left|{\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\right|$

Die Herleitung der Formel erfolgt über die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen.

Schnittwinkel für Vektoren

In einem Vektorraum mit Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ und dadurch induzierter Norm $\left|\cdot \right|$, definiert man den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Vektoren ${\vec {x}}$ und ${\vec {y}}$ wie folgt:

$\cos \alpha :={\frac {|\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle |}{\left|{\vec {x}}\right|\cdot \left|{\vec {y}}\right|}}$

Beispiel

Für ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und ${\vec {y}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ gilt mit Standardskalarprodukt: $\cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {2}}}$, also $\alpha =45^{\circ }$.