Satz des Pythagoras
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Der Satz des Pythagoras (engl. Pythagorean theorem oder Pythagoras' theorem) besagt: Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn das Quadrat der Länge seiner Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen seiner Katheten ist.
In Form einer Gleichung:
- a2 + b2 = c2
(a, b, c sind die Seiten des Dreiecks).
oder
Beispiel:
Seitenlängen 3, 4, 5 => 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 => Das Dreieck ist rechtwinklig.
Seitenlängen 4, 5, 6 => 42 + 52 = 16 + 25 = 41 ≠ 62 => Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
Eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras ist der Höhensatz.
Grafische Veranschaulichung: Java-Applet
Ein pythagoreisches Tripel ist eine Gruppe von drei ganzen Zahlen, für die die Gleichung des Pythagoras gilt:
a2 + b2 = c2
Pythagoreischen Tripel werden seit Alters her zur "Gärtnerkonstruktion" von rechtwinkligen Parzellen oder Beeten verwendet:
Man bringe an einem Stück Schnur in regelmäßigen Abständen (etwa alle 50 cm) einen Knoten an und knote Sie dann so zusammen, dass eine Schleife mit im Ganzen 12 Knoten entsteht. Nehmen jetzt drei Personen je einen Knoten in die Hand, so dass sich die Strecken zwischen ihnen wie 3:4:5 verhalten, so ist der Winkel zwischen den beiden kürzeren Seiten (Katheten) genau 90°.
Diophant hat sich mit diesen Pythagoreischen Tripeln befasst.
Diese pythagoreischen Tripel sind eine Besonderheit der Quadratzahlen: Der Große Fermatsche Satz besagt, dass es keinen anderen ganzzahligen Exponenten n gibt, für den mit den ganzen Zahlen a, b und c gilt:
an + bn = cn