Diskussion:Normierter Raum

Sollte man den Begriff der Norm nicht ausgliedern, da unter anderem eine Norm nicht zwangläufig einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ oder C als Definitionsmenge haben muss. --LustigerKreis 19:04, 8. Mär 2005 (CET)

Denkst du an beliebige Teilkörper von C? Die könnte man im Prinzip zulassen. Hättest du etwas über Normen zu schreiben, was nicht in diesen Artikel gehören würde?

Man kann zusätzlich in Vektorräumen über beliebigen bewerteten Körpern (s. Absoluter Betrag#Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung) eine Norm definieren. --SirJective 00:08, 9. Mär 2005 (CET)

hmm, fast. Ich hab in erinnerung das alles was von einem Vektoraum nach R geht und die 3 Regeln einhält Norm ist. Z.B. was ist mit der Operatornorm, die passt hier nicht rein oder sehe ich das falsch? --LustigerKreis 01:08, 9. Mär 2005 (CET)

Doch. Viele Gruesse --DaTroll 09:45, 9. Mär 2005 (CET)

Noch als Kommentar: es ist aber zu Ueberlegen, zumindest die Matrixnormen rauszunehmen, weil diese eine weitere Eigenschaft erfuellen. Viele Gruesse --DaTroll 10:36, 9. Mär 2005 (CET)

sorry, verstehe die Antwort nicht. Soll das (vereinfacht gesagt) heissen die Menge der Operatoren formt einen Vektorraum über C? Und kann man nicht z.B. aus Hamming-Abstand sich eine Norm basteln, deren Vektoraum nicht ein Körper zu grunde liegt? Hoffe mal wir reden nicht aneinander vorbei. Ein verwirrter --LustigerKreis 13:26, 9. Mär 2005 (CET)

Ohne Koerper gibt es keinen Vektorraum und ja, der Raum aller Operatoren ist ein Vektorraum. --DaTroll 13:49, 9. Mär 2005 (CET)

Ich denke auch, daß es günstiger wäre, Norm als eigenständigen Artikel zu führen und dort alle (hier gelisteten) Normen kurz anzureißen und bei Bedarf (zB Matrixnormen)in extra Artikel weiter auszuführen. Das ganze unter "normierter Raum" zu führen ist imho unsinnig und erzeugt beim nicht so versierten Leser wohl falsch Eindrücke.
Bedauerlicherweise finden sich auch im gesamten Themenkomplex der Verktorraum-Hierarchie Widersprüche. -- Sebastian (pin.or.z@gmail.com) 213.54.196.146 17:51, 5. Jun 2005 (CEST)

Zur "Manhattan-Metrik": Unser Mathe-Professor (TU Wien) hat diese Metrik auch Taxifahrer-Metrik genannt. Is auch ein netter Name.

Pseudonorm

Die momentane Erwähnung von Pseudonormen ist unverständlich, weil Pseudonormen im Körperfall dasselbe wie Normen sind (wenn ich das richtig verstehe).--Gunther 14:59, 27. Sep 2005 (CEST)

Der Begriff macht für Vektorräume keine Sinn. Das ist mir gar nicht aufgefallen, als ich die Definition von subhomogen nachgetragen habe. Man könnte wohl den ganzen Absatz über Pseudonormen löschen.--UrsZH 16:26, 27. Sep 2005 (CEST)

Leider verrät Pseudonorm auch nicht, wer das eigentlich braucht.--Gunther 17:05, 27. Sep 2005 (CEST)

Ich habe bei Benutzer:JFKCom nachgefragt und ihn gebeten, dazu etwas zu schreiben. Ich weiss selber leider auch nicht mehr.--UrsZH 18:52, 27. Sep 2005 (CEST)

Und dort habe ich auch schon ein bisschen geantwortet. Fallt bitte nicht zu schnell in Löschlaune: Was Pseudonormen genau sind, habe ich nur im dortigen Lemma genau spezifiziert (und ich gebe zu, sehr staubtrocken, ohne Anwendung und andere Nettigkeiten; will ich alles demnächst nachreichen). Die Pseudonorm lebt nämlich allgemeiner auf einem Ring, der einen Pseudobetrag (das ist die analoge Abschwächung eines Betrags) besitzt. Wenn der Ring ein Körper ist und zusätzlich der Pseudobetrag bereits ein Betrag ist, so ist die Pseudonorm auch bereits eine Norm, das müßte wohl stimmen. Kleines Beispiel zur Illustration: $\mathbb {R} [X]$ ist ein Polynomring, auf dem man z.B. den (nicht-archimedischen) Pseudobetrag $f\mapsto 2^{\deg f}$ betrachtet. Dieser eingeschränkt auf den Grundring (=Grundkörper) $\mathbb {R}$ ist der triviale Pseudobetrag $|r|=1$ für $r\neq 0$, $|0|=0$. Obwohl $\mathbb {R}$ ein Körper ist, ist dies kein Betrag. Der Pseudobetrag auf dem Polynomring ist, wenn man $\mathbb {R} [X]$ als rellen Vektorraum auffaßt, eine Pseudonorm, aber keine Norm.

Was in der Literatur ärgerlich ist: Viele Autoren nennen den Pseudobetrag "Pseudonorm" und den Betrag "Norm", womit diese für maximale Verwirrung sorgen.--JFKCom 01:11, 28. Sep 2005 (CEST)

Eine Stufe komplizierter musst Du das Beispiel schon machen: So sind das alles Beträge (:= definit, multiplikativ, Dreiecksungleichung).--Gunther 01:31, 28. Sep 2005 (CEST)

Oh, da war ich zu flapsig. Ersetze oben $\mathbb {R}$ durch einen kommutativen Ring R (der z.B. nichttriviale Nullteiler hat), und schon ist die Multiplikativität futsch (und wird zur Submultiplikativität). Ihr wolltet aber ein Beispiel in $\mathbb {R}$ sehen:

Beispiel: Polynomraum $\mathbb {R} [X]$: Kann als Vektorraum mit der 1-Norm (Summe der Beträge aller Koeffizienten) ausgestattet werden. Als Algebra (mit der faltungsartigen Polynommultiplikation) aufgefaßt ergibt sich die Submultiplikativität der 1-Norm. Als Ring (mit Polynomaddition u. -multiplikation) haben wir also einen Pseudobetrag, der kein Betrag ist. Adjungieren wir eine weitere freie Variable an diesen Polynomring (bilden also $\mathbb {R} [X][Y]$), so kann $\mathbb {R} [X]$ als Grundring mit Pseudobetrag dienen.--JFKCom 19:51, 28. Sep 2005 (CEST)

Wenn ich nun alles verstanden habe, verwendest Du also auf $\mathbb {R}$ auch noch einen anderen Betrag. Ich denke, dass das nicht klar ist und man müsste wohl noch etwas mehr dazu sagen. Soweit ich das beurteilen kann, wird der grösste Teil der Leser davon ausgehen, dass mit $|\alpha |$ die Standard-Betragsfunktion gemeint ist. In weiten Teilen der Mathematik wird das auch so gehandhabt. Den Begriff Pseudobetrag werden wohl nur wenige mit dieser Siuation in Verbindung bringen. Für den Fall, dass an dieser Stelle der Begriff Pseudonorm wirklich erwähnt werden soll (davon bin ich noch nicht restlos überzeugt), sehe ich folgende Möglichkeiten:

• Wir behandeln zuerst den speziellen Fall mit $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ mit dem Standardbetrag (wie in der Analysis üblich) und fügen einen Abschnitt hinzu, indem auf die Situation mit Körpern mit Pseudobetrag eingegangen wird.
• Wir behandeln hier nur den speziellen Fall mit $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ mit dem Standardbetrag und verweisen auf den Artikel Pseudonorm, wo die allgemeinere Situation mit Ringen und Pseudobeträgen behandelt wird. Ich denke hier wirklich nur an einen Verweis ohne jegliche Definition.
• Wir betrachten hier von Anfang an die allgemeine Situation und der Fall mit $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ mit dem Standardbetrag erhält eine besondere Erwähnung als wichtiger Spezialfall.

Ich persönlich würde die zweite Variante bevorzugen.--UrsZH 09:08, 28. Sep 2005 (CEST)

Dass die letzte Möglichkeit nicht sinnvoll ist, sehen wir wohl alle so. Aber um ein Missverständnis auszuräumen: Die Begriffe "Pseudobetrag" u. "Pseudonorm" entfalten ihre Kraft erst richtig, wenn man statt Körpern allgemeiner kommutative Ringe zuläßt. Das Formulierungsproblem haben wir doch schon deshalb, weil ich diese Verallgemeinerung im Eintrag Pseudonorm bereits für die Standarddefinition verwende (in diesem Fall ist diese abstrakte Stufe auch die sinnvolle). Bei der "Norm" dagegen kann man diese Verallgemeinerung auch vornehmen, was der jetzige Artikel aber noch in keiner Weise macht (klar, da die im täglichen Leben vorkommenden Normen zu 98% über Körpern definiert sind).--JFKCom 19:51, 28. Sep 2005 (CEST)

Das Problem der aktuellen Fassung ist doch viel mehr, dass im Artikel nicht sagt wird, von welchen Voraussetzungen man ausgeht und es dem Leser überlässt, was wohl gemeint ist. So kann es passieren, dass Gunther und ich der Meinung sind, dass man $\mathbb {R}$/math>\mathbb{R}</math>mit dem Standardbetrag betrachtet (die Begriff Pseudonorm und Pseudobetrag habe ich übrigens gestern das erste Mal gesehen) und unter dieser Voraussetzung zurecht bemängeln, dass der Begriff Pseudonorm keinen Sinn ergibt. Und ich denke so geht es noch vielen Lesern. Du gehst vermutlich (auf Grund Deines Wissens) schon von Anfang an von einem Pseudobetrag aus und so ergibt die Erwähnung der Pseudonorm plötzlich Sinn. Wenn Du sagst, dass die Begriffe Pseudonorm und Pseudobetrag ihre Kraft erst entfalten, wenn man kommutative Ringe zulässt, stelle ich mir die Frage, ob die in diesem Artikel wirklich hingehören.

Leider sehe ich im Moment nicht, wie Du den Artikel gestalten möchtest. Aber vielleicht sollten wir versuchen, foglende Fragen zu beantworten:

1. Woraus sollen die "Skalere" kommen: Beliebiger kommutativer Ring mit Pseudobetrag, Körper mit Pseudobetrag, Körper der reellen/komplexen Zahlen mit Standardbetrag,...
2. Wie wollen wir den Artikel aufbauen? Beginnen wir mit dem Spezialfall der normierten Vektorräume über den reellen/komplexen Zahlen und hängen einen Abschnitt über Verallgemeinerungen an (wo dann auch die Pseudonorm ihren natürlichen Platz finden würde) oder beginnen wir bereits etwas allgemeiner und wie allgemein in diesem Fall?

Ich tendiere dazu, hier nicht zuviel über die allgemeine Aussage zu sagen und stattdessen auf den Artikel Pseudonorm zu verweisen, wo das Thema umfassend behandelt wird.

Um auch da keine Missverständnisse aufkommen zu lassen, es geht mir überhaupt nicht um den Artikel Pseudonorm, und die Art wie dort Begriffe eingeführt werden, sondern nur darum, dass die aktuelle Form von normierter Raum in Teilen nicht ganz ideal ist.--UrsZH 09:22, 29. Sep 2005 (CEST)

(Ich geh' mal mit der Einrückung wieder ganz nach vorn). Schon klar, dass die jetzige "Formale Definition" hier noch ziemlich unglücklich ist. Laßt uns doch an folgender Variation des Kapitels hier einfach etwas rumbasteln, bis sie uns allen schmeckt (wir müssen hier auf der Diskussionsseite nur Überschriften vermeiden, die ich deshalb einfach fettgeschrieben habe):-JFKCom 19:59, 29. Sep 2005 (CEST)

Formale Definition (Spezialfall reelle und komplexe Vektorräume) Sei V ein Vektorraum über dem Körper ${\mathbb {K}}$ der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Funktion $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R} _{+}$ in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt Norm auf V, wenn für alle Vektoren $x,y\in V$ und alle Skalare $\alpha \in {\mathbb {K}}$ die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

1. $\|x\|=0\;\Rightarrow \;x=0$ (Definitheit);
2. $\|\alpha \cdot x\|=|\alpha |\cdot \|x\|$ (Homogenität);
3. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ (die Dreiecksungleichung).

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum oder normierter Raum.

Allgemeine formale Definition Den Begriff einer Norm kann man wesentlich allgemeiner betrachten, in dem man den Vektorraum V allgemeiner durch einen Modul M ersetzt:

Sei $M$ ein $R$-(Links)-Modul über einem unitären Ring mit Betrag $(R,|\cdot |)$. Eine Funktion $\|\cdot \|:M\to \mathbb {R} _{+}$ in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt Norm auf M, wenn für alle $x,y\in M$ und alle Skalare $\alpha \in R$ die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

1. $\|x\|=0\;\Rightarrow \;x=0$ (Definitheit);
2. $\|\alpha \cdot x\|=|\alpha |\cdot \|x\|$ (Homogenität);
3. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ (die Dreiecksungleichung).

Bemerkungen:

• Aus der Homogenität folgt $\|0\|=0$ (d.h. in 1. gilt sogar $\Leftrightarrow$) und $\|-x\|=\|x\|$.
• Wenn auf die Definitheit (Bedingung 1.) verzichtet wird, dann ist $\|\cdot \|$ nur eine Halbnorm. Aus einem Raum mit Halbnorm erhält man einen normierten Raum als Faktorraum. Dazu werden Elemente $x$ und $y$ miteinander indentifiziert, die $\|x-y\|=0$ erfüllen.
• Wenn im Grundring R der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird (d.h. die Multiplikativität von $|\cdot |$ zur Submultiplikativität abgeschwächt wird) und im Modul M die Homogenität von $\|\cdot \|$ zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man den Begriff der Pseudonorm. Subhomogenität bedeutet, dass $\|\alpha \cdot x\|\leq |\alpha |\cdot \|x\|$ für alle Vektoren $x$ und jeden Skalar $\alpha$ gilt.

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Diesen Vorschlag finde ich echt gut. Ich hätte es wohl nicht annähernd so gut hingekriegt. Ich bin dafür, dass man dies in den Artikel überträgt.--UrsZH 08:59, 30. Sep 2005 (CEST)

Kleinigkeit: $\mathbb {R} _{+}$ kann entweder $x>0$ oder $x\geq 0$ bedeuten; die Notation $\mathbb {R} _{\geq 0}$ ist nicht erklärungsbedürftig und damit vorzuziehen.--Gunther 11:13, 30. Sep 2005 (CEST)

Wegen der Zweideutigkeit hatte ich eigentlich die Prosa "... in die nichtnegativen reellen Zahlen ..." eingefügt. Die Schreibweise $\mathbb {R} _{\geq 0}$ wirkt auf mich etwas exotisch; ich kenne sie aus keinem Buch, nur von hier aus der Wikipedia (oder ist das auch schon ein Buch? grins). Wenn Euch $\mathbb {R} _{\geq 0}$ besser gefällt, tippt es fröhlich oben rein, ich habe da kein Problem damit.--JFKCom 17:11, 30. Sep 2005 (CEST)

Ich habe schon alle Varianten gesehen und soweit ich mich erinnere mit allen möglichen Definitionen, die halbwegs passen. Ich würde aber auch $\mathbb {R} _{\geq 0}$ bevorzugen, weil es wohl die klarste Bezeichnung ist..--UrsZH 19:29, 30. Sep 2005 (CEST)

So, hab' jetzt die obige Version mit der $\mathbb {R} _{\geq 0}$-Änderung reingeklatscht. Nun sollten wir aber geschwind zu der weiteren großen Problematik dieser Seite gehen: Meiner Meinung nach sind 80% dieser Seite in einen eigenen Artikel "Norm (Mathematik)" auszugliedern (s. obigen Diskussionspunkt, der leider irgendwie vom Thema abkam).--JFKCom 21:32, 1. Okt 2005 (CEST)

Norm auslagern

Ich habe obige Diskussion nochmals nachgelesen. Mir ist nicht ganz klar, was Du auslagern willst und was Du genau damit bezweckst. Meiner Meinung nach kann man die Begriffe Norm und normierter Raum nicht wirklich voneinander trennen. Bei jeder Norm habe ich eine Menge, auf der diese definiert ist, und diese wird dann zu einem normierten Raum. Was allenfalls Sinn ergeben könnte, einzelne speziellen Normen, die wesentlich mehr Eigenschaften haben (wie die oben erwähnten Matrixnormen) auszulagern, weil da wohl vieles zu sagen wäre, was nicht mehr mit allgemeinen Normen zu tun hat.--UrsZH 22:47, 1. Okt 2005 (CEST)

Vgl. Portal_Diskussion:Mathematik#Listen_von_Redirects.--Gunther 22:50, 1. Okt 2005 (CEST)

Ich klinke mich dort drüben ein.--JFKCom 23:12, 1. Okt 2005 (CEST)