Minkowskischer Gitterpunktsatz

Der Minkowskische Gitterpunktsatz sagt etwas über die Dichte von Gitterpunkten in einem Gitter aus.

Aussage des Satzes

Sei ${C}\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ beschränkt, konvex und symmetrisch zum Nullpunkt. Gilt dann $vol(C)>2^{d}$, so enthält C außer dem Nullpunkt einen weiteren Gitterpunkt (und wegen der Symmetrie sogar zwei).

Beispiel

Ein Beispiel ist ein regelmäßiges Gitter im $\mathbb {R} ^{2}$, also z.B. $\mathbb {Z}$ x $\mathbb {Z}$. Es gibt keine Teilmenge des $\mathbb {R} ^{2}$ mit besagten Eigenschaften, die eine Fläche > 4 hat und keinen Gitterpunkt enthält. Ein Quadrat um den Nullpunkt kommt nur unendlich dicht an den Flächeninhalt 4 heran, bevor es einen Gitterpunkt enthalten muß (nämlich genau bei Kantenlänge 2).

Anwendungen

Es ergeben sich eine Vielzahl von Anwendungen des Minkowskischen Gitterpunktsatzes, angefangen von der Approximation von reellen Zahlen durch Brüche bis hin zu "praktischen" Problemen wie der Frage, wie weit eine Gewehrkugel in einem (regelmäßig gepflanzten) Wald fliegen wird.