Satz von Descartes

In der Geometrie beschreibt der Satz von Descartes (Vier-Kreise-Satz von Descartes), benannt nach René Descartes, eine Beziehung zwischen vier Kreisen, die sich gegenseitig berühren. Der Satz kann dazu verwendet werden, zu drei gegebenen Kreisen, die sich wechselseitig berühren, einen vierten zu finden, der die drei anderen berührt.

Geschichte

Über geometrische Probleme im Zusammenhang mit Kreisen, die sich gegenseitig berühren, wurde schon vor mehr als 2000 Jahren nachgedacht. Im antiken Griechenland des 3. Jahrhunderts v.Chr. widmete Apollonios von Perge diesem Thema ein ganzes Buch. Unglücklicherweise ist uns dieses Werk mit dem Titel Über Berührungen nicht erhalten.

René Descartes erwähnte 1643 das Problem (gemäß den damaligen Gepflogenheiten) kurz in einem Brief an die Prinzessin Elisabeth von Böhmen. Er kam im Wesentlichen zu der Lösung, die weiter unten in Gleichung (1) beschrieben ist. Daher wird der Vier-Kreise-Satz heute nach Descartes benannt.

Frederick Soddy entdeckte die Gleichung im Jahre 1936 wieder. Man spricht manchmal von den Soddy-Kreisen, vielleicht weil Soddy seine Version des Satzes in Form eines Gedichts mit dem Titel The Kiss Precise veröffentlichte, das in der Zeitschrift Nature (20. Juni 1936) abgedruckt wurde. Soddy verallgemeinerte auch den Satz von Descartes zu einem Satz über Sphären im n-dimensionalen Raum.

Definition der vorzeichenbehafteten Krümmung

Der Satz von Descartes lässt sich am einfachsten durch den Begriff der Krümmung ausdrücken. Die vorzeichenbehaftete Krümmung eines Kreises wird definiert durch $k=\pm 1/r$, wobei r den Radius bezeichnet. Je größer der Kreis ist, desto kleiner ist der Betrag seiner Krümmung und umgekehrt.

Das Minuszeichen in $k=\pm 1/r$ gilt für einen Kreis, der die anderen drei Kreise einschließend berührt. Andernfalls ist das Pluszeichen zu setzen.

Betrachtet man eine Gerade als entarteten Kreis mit Krümmung $k=0$, so lässt sich der Satz von Descartes auch anwenden, wenn eine Gerade und zwei Kreise gegeben sind, die sich gegenseitig berühren, und ein dritter Kreis gesucht ist, der die Gerade und die gegebenen Kreise berührt.

Satz von Descartes

Gegeben seien vier Kreise mit den Radien $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ und $r_{4}$. Definiert man wie oben für jeden dieser Kreise die vorzeichenbehaftete Krümmung $k_{i}$ (für $i=1,\ldots ,4$), so ist folgende Gleichung erfüllt:

$(1)$

$(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})$

Auflösen dieser Gleichung nach $k_{4}$ ermöglicht es, den Radius des vierten Kreises zu bestimmen:

$(2)$

$k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}.$

Das Plus-Minus-Symbol drückt aus, dass es im Allgemeinen zwei Lösungen gibt.

Beispiel

Gegeben seien drei Kreise mit den Radien $r_{1}=1/2$, $r_{2}=1/6$ und $r_{3}=1/3$. Dementsprechend hat die vorzeichenbehaftete Krümmung die Werte $k_{1}=2$, $k_{2}=6$ und $k_{3}=3$. Aus Gleichung (2) ergeben sich nun die beiden Lösungen $k_{4}=23$ und ${k_{4}}'=-1$. Der winzige Kreis (rot) zwischen den gegebenen Kreisen hat daher den Radius $r_{4}=1/23$. Der große Kreis (ebenfalls rot), der die gegebenen Kreise einschließt, hat den Radius ${r_{4}}'=1$.

Spezialfälle

Wird beispielsweise der dritte der drei gegebenen Kreise durch eine Gerade ersetzt, so wird $k_{3}$ gleich 0 und fällt aus Gleichung (1) heraus. Gleichung (2) wird in diesem Fall wesentlich einfacher:

$(3)$

$k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.$

Beispiel

Gegeben seien zwei Kreise mit den Radien $r_{1}=1/4$ und $r_{2}=1/9$ sowie eine Gerade, die als Kreis mit unendlichem Radius aufgefasst wird. Die entsprechenden Werte für die vorzeichenbehaftete Krümmung sind $k_{1}=4$, $k_{2}=9$ und $k_{3}=0$. Durch Anwendung von Gleichung (3) erhält man wieder zwei mögliche Werte, nämlich $k_{4}=25$ und ${k_{4}}'=1$. Für die Radien der beiden rot gezeichneten Kreise ergibt sich folglich $r_{4}=1/25$ beziehungsweise ${r_{4}}'=1$.

Der Satz von Descartes lässt sich nicht anwenden, wenn zwei oder sogar alle drei gegebenen Kreise durch Geraden ersetzt werden. Der Satz gilt auch dann nicht, wenn es mehr als einen einschließend berührenden Kreis gibt, also im Fall von drei ineinander gelegenen Kreisen mit gemeinsamem Berührpunkt.

Komplexer Satz von Descartes

Um einen Kreis vollständig zu bestimmen, nicht nur seinen Radius (oder seine Krümmung), muss man auch seinen Mittelpunkt kennen. Die Gleichung dafür lässt sich am einfachsten ausdrücken, wenn man die Koordinaten des Mittelpunkts (x, y) als komplexe Zahl $z=x+iy$ interpretiert. Die Gleichung für $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ ist dem Satz von Descartes sehr ähnlich und wird daher als komplexer Satz von Descartes bezeichnet.

Gegeben seien vier Kreise mit den Mittelpunkten $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ und den vorzeichenbehafteten Krümmungen $k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}$ (siehe oben), die sich gegenseitig berühren. Dann gilt zusätzlich zu (1) die Beziehung

$(4)$

$(k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+k_{3}z_{3}+k_{4}z_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}z_{1}^{2}+k_{2}^{2}z_{2}^{2}+k_{3}^{2}z_{3}^{2}+k_{4}^{2}z_{4}^{2}).$

Hat man $k_{4}$ bereits aus Gleichung (2) ermittelt, so erhält man $z_{4}$, indem man Gleichung (4) entsprechend wie Gleichung (2) auflöst. Auch hier ergeben sich im Allgemeinen zwei Lösungen.

Weblinks

• Interaktives Applet (vier Kreise, die sich gegenseitig berühren)